JURNAL TRIGONOMETRI
VOL.
1 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
Analisis Nilai Klaim dengan Biaya Menggunakan Model Black-Scholes Nadia1* 1 Universitas Nurul Huda.
Indonesia * Email: nadia@unuha.
Abstrak Model yang populer digunakan untuk penentuan nilai produk derivatif keuangan seperti opsi put dan call adalah model Black-Scholes.
Namun, aplikasi model BlackScholes tidak terbatas hanya pada penentuan nilai opsi.
Model ini juga dapat diterapkan dalam penentuan nilai klaim lainnya yang memiliki karakteristik serupa.
Pada penelitian ini, nilai klaim ditentukan dengan memperhatikan payoff yang ditambahkan dengan biaya.
Penghitungan dilakukan secara analitis, kemudian dilakukan analisis sensitivitas.
Hasil analisis sensitifitas menunjukkan bahwa nilai klaim berbanding lurus dengan penambahan biaya.
Kata kunci: Model Black-Scholes.
Harga Klaim.
Penilaian Analitik
PENDAHULUAN
Produk derivatif telah menjadi salah satu instrumen yang sangat diminati dalam pasar keuangan modern.
Keberadaannya memungkinkan para pelaku pasar untuk mengelola risiko dan melindungi aset mereka dari berbagai ketidakpastian di masa depan.
Salah satu contoh paling populer dari produk derivatif adalah opsi, yang memberikan hak .
amun tidak kewajiba.
kepada pemegangnya untuk membeli atau menjual aset pada nilai yang telah ditentukan di masa depan.
Dalam menentukan nilai opsi, salah satu model yang paling sering digunakan adalah model Black-Scholes (Siswanto, dkk.
Lee, dkk.
, 2015.
Irwan, dkk.
, 2019.
Mardianto, dkk.
, 2.
Namun, aplikasi model Black-Scholes tidak terbatas hanya pada penentuan nilai opsi.
Model ini juga dapat diterapkan dalam penentuan nilai klaim lainnya yang memiliki karakteristik serupa, seperti penentuan premi asuransi deposito di bank (Zhang dan Shi, 2017.
Lee dkk.
, 2015.
Pizzutilo dan Francesco, 2.
Dengan demikian, pemahaman dan penggunaan model Black-Scholes membuka banyak peluang untuk inovasi dan pengembangan di berbagai sektor keuangan.
Model Black-Scholes pertama kali dikembangkan pada tahun 1973 oleh Fischer Black dan Myron Scholes.
Terdapat beberapa asumsi yang digunakan dalam model Black-Scholes, yaitu, tidak ada peluang arbitrase, tidak ada biaya transaksi, aset tidak memberikan pembayaran dividen, tingkat pengembalian .
erubahan nilai ase.
sama untuk semua jatuh tempo, derifativ yang diperdagangkan hanya dapat diklaim pada waktu jatuh tempo, dan perubahan nilai aset mengikuti suatu pola acak.
Faktor-faktor yang mempengaruhi model ini meliputi nilai aset, nilai kesepakatan .
trike pric.
, suku bunga, waktu jatuh tempo, dan volatilitas.
JURNAL TRIGONOMETRI
VOL.
1 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
Pada penelitian ini, akan ditentukan nilai klaim dengan memperhatikan payoff yang ditambahkan dengan biaya.
Penelitian ini bertujuan untuk mengeksplorasi lebih jauh bagaimana model Black-Scholes dapat diterapkan dalam skenario yang lebih kompleks, yaitu dengan memasukkan elemen biaya dalam perhitungan.
Payoff yang dimaksud adalah nilai yang diterima oleh pemegang klaim pada saat jatuh tempo, sementara biaya mencakup berbagai pengeluaran yang mungkin timbul selama periode tersebut.
METODE
Jenis Penelitian Penelitian ini termasuk dalam kategori penelitian kuantitatif yang menggunakan metode analitis untuk mengevaluasi dan memodifikasi model Black-Scholes dalam penentuan harga klaim dengan memasukkan elemen Tempat Penelitian Tempat penelitian dilakukan di Program Studi Matematika.
Fakultas Sains dan Teknologi.
Universitas Nurul Huda.
Prosedur Penelitian Penelitian ini dilakukan melalui beberapa tahap sebagai berikut:
Pengumpulan Literatur: Melakukan tinjauan literatur yang mendalam untuk mengumpulkan berbagai teori dan pendekatan yang relevan dengan penentuan harga klaim dan penggunaan model Black-Scholes.
Pengembangan Model: Berdasarkan teori dan referensi yang telah dikumpulkan, kemudian model Black-Scholes dikembangkan dengan memasukkan elemen biaya ke dalam fungsi payoff.
Perhitungan analitis: Menghitung klaim dari payoff yang telah Analisis sensitifitas: Melakukan analisis sensitivitas untuk memahami bagaimana perubahan dalam input .
eperti volatilitas atau biay.
mempengaruhi nilai klaim yang dihitung.
Hasil dari perhitungan analisis ini akan dibandingkan dengan hasil yang diperoleh dari referensi literatur untuk memvalidasi model dan pendekatan yang digunakan.
HASIL DAN DISKUSI
Model Stokastik Misalkan ycIycN adalah suatu proses stokastik dan ya adalah kontanta yang diketahui pada saat ycN.
Nilai payoff ycE.
cIycN , ycN, .
pada waktu ycN diberikan oleh ya Oe ycIycN , ycIycN > ya ycE.
cIycN , ycN, .
= .
a Oe ycIycN ) = { .
Karena nilai ycIycN diketahui pada waktu ycN, maka ycIycN dapat dipandang sebagai suatu peubah acak.
Oleh karena itu, ycE.
cIycN , ycN, .
juga merupakan sebuah peubah acak karena ycE.
cIycN , ycN, .
merupakan fungsi dari peubah acak.
Dengan asumsi tanpa arbitrase, maka ycE.
cIyc , yc, .
dapat diperoleh dari ekspektasi payoff opsi yang didiskontokan pada tingkat konstan.
JURNAL TRIGONOMETRI
VOL.
1 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
Untuk memenuhi asumsi penentuan nilai klaim tanpa arbitrase, maka diperlukan model ycIyc dengan ukuran peluang risk neutral yang memungkinkan perhitungan nilai klaim menggunakan ekspektasi.
ycIyc mengikuti suatu proses acak atau proses stokastik.
Berikut ini diberikan definisi dari beberapa proses stokastik yang diperlukan.
Definisi 1 (Durrett, 2.
Proses stokastik .
aAyc , yc > .
adalah gerak Brown standar jika memenuhi:
yaA0 = 0.
Untuk setiap titik waktu 0 O yc1 O yc2 O yc3 O yc4, perubahan yaAyc4 Oe yaAyc3 dan yaAyc2 Oe yaAyc1 adalah saling bebas.
Untuk yc, yc Ou 0, perubahan yaAyc yc Oe yaAyc berdistribusi Normal dengan mean 0 dan variansi yc, atau secara ekuivalen dapat ditulis yaAyc yc Oe yaAyc ye.
, y.
Definisi 2 (Ross, 2.
Proses stokastik .
cUyc , yc Ou .
adalah gerak Brown dengan koefisien drift \mu dan variansi yua 2 jika memenuhi ycU0 = 0.
Untuk setiap titik waktu 0 O yc1 O yc2 O yc3 O yc4, perubahan ycUyc4 Oe ycUyc 3 dan ycUyc2 Oe ycUyc1 adalah saling bebas.
Untuk yc, yc Ou 0, perubahan ycUyc yc Oe ycUyc berdistribusi Normal dengan mean yuNyc dan variansi yua 2 yc, atau secara ekuivalen dapat ditulis ycUyc yc Oe ycUyc O ye.
uNyc, yua 2 y.
Gerak Brown dengan drift yuN dan variansi yua 2 dapat ditulis sebagai ycUyc = yuNyc yuayaAyc , dengan .
aAyc , yc Ou .
adalah gerak Brown standar.
Definisi 3 (Ross, 2.
Proses stokastik .
cIyc , yc Ou .
adalah gerak Brown geometri yang dapat dinyatakan sebagai ycIyc = ycI0 yce ycUyc , dengan .
cUyc , yc Ou .
adalah gerak Brown dengan koefisien drift yuN dan variansi yua 2 , dan ycI0 > 0 merupakan nilai ycI pada waktu yc = 0.
Misalkan ycIyc diasumsikan mengikuti gerak Brown geometri, sehingga memenuhi persamaan diferensial stokastik yccycIyc = yuNycIyc yccyc yuaycIyc yccyaAyc dengan yuN adalah ekspektasi tingkat perubahan ycIyc , yua adalah volatilitas, dan yaAyc adalah gerak Brown standar.
Asumsi ini juga mengindikasikan agar nilai ycIyc tidak negatif.
Persamaan ( 2 ) dapat ditulis kembali menjadi ycc ln ycIyc = yuNyccyc yuayccyaAyc .
Untuk menentukan proses dari ln ycIyc , digunakan teorema berikut.
Teorema 1 (Hull, 2.
(Formula It.
Misalkan proses stokastik .
cIyc , yc Ou .
memenuhi persamaan diferensial stokastik yccycIyc = yca.
cIyc , y.
yccyc yca.
cIyc , y.
yccyaAyc , dengan .
aAyc , yc Ou .
adalah gerak Brown standar, yca dan yca adalah fungsi dari ycIyc dan yc.
Misalkan ya adalah suatu fungsi dari ycIyc dan yc yang dapat didiferensialkan dua kali secara kontinu terhadap ycIyc dan satu kali terhadap yc.
Maka yaycI,yc = ya.
cIyc , y.
memenuhi yuiyaycI,yc yuiyaycI,yc 1 yui 2 yaycI,yc 2 yuiyaycI,yc yccyaycI,yc = ( yca yui yca yccyc ycayccyaAyc .
yuiycIyc yuiyc yuiycIyc yuiycIyc2 Dengan menggunakan Formula Ito diatas, diperoleh ycoycu ycIyc memenuhi JURNAL TRIGONOMETRI VOL.
1 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
) yccyc yuayccyaAyc , sehingga proses stokastik ycIyc diberikan oleh ycc ycoycu ycIyc = .
uN Oe ycIyc = ycI0 yce .
uNOe2 yua )yc yuayaAyc , yaAyc O ye.
, y.
Dapat dilihat bahwa ycIyc mengikuti gerak Brown geometri.
ycIyc dan yua 2 yang diberikan pada Persamaan ( 3 ) merupakan ukuran historis atau empiris dengan ukuran peluang Eo.
Ukuran ini disebut sebagai ukuran fisik .
hysical Namun, untuk menentukan nilai klaim pada waku yc, akan digunakan suatu ukuran peluang baru yang ekuivalen dengan Eo, yang dengan ukuran peluang tersebut, diskonto dari ycIycN bersifat martingale.
Berikut diberikan definisi dari martingale.
Definisi 4 (Bingham dan Kiesel, 2.
Misalkan .
cAyc , 0 O yc O ycN} adalah proses yang diadaptasi dari filtrasi {Eyc , 0 O yc O ycN}, dan y.
ycAyc | < O untuk setiap yc OO .
, ycN].
ycAyc disebut martingale jika yi.
cAyc |Eyc ) = ycAyc untuk setiap 0 O yc O yc O ycN.
Untuk perubahan ukuran peluang dari ukuran peluang fisik Eo menjadi ukuran peluang risk-neutral Eo, digunakan teorema berikut.
Teorema 2 (Junghenn, 2.
(Teorema Girsano.
Misalkan .
aAyc , yc Ou .
adalah gerak Brown dengan ruang peluang (E.
dan misalkan yuE adalah suatu Definisikan yayc = yce (OeyuEyaAycOe2yuE y.
, 0 O yc O ycN.
Maka proses yaAEyc yang didefiniskan oleh yaAEyc = yaAyc yuEyc, 0 O yc O ycN adalah gerak Brown dengan ruang peluang (E.
, dan yccEo = yayc yccEo.
Definisikan ycIEyc = yce Oeycyc ycIyc , dengan yc bernilai konstan.
Dengan menggunakan Teorema 2, akan ditentukan bentuk yuE agar ycIEyc = yce Oeycyc ycIyc martingale, yang diberikan pada Lema berikut.
Lema 1 (Junghenn, 2.
Terdapat ukuran peluang Eo, ekivalen dengan Eo, sehingga .
cIEyc , yc Ou .
martingale, dengan Eo diberikan oleh yccEo (OeyuEyaAyc Oe yuE2 y.
| =yce yccEo E yuNOeyc dengan yuE = yua .
Bukti.
Diketahui bahwa yccycIyc = yuNycIyc yccyc yuaycIyc yccyaAyc Sehingga yccycIEyc = ycIE(Oeycyccyc yuNyccyc yuayccyaAyc ) yuNOeyc = yuaycIE ( yc yaAyc ) Misalkan yaAEyc = yuNOeyc yua yc yaAyc .
Kemudian substitusikan pada persamaan diatas, yua yccycIEyc = ycIEyc yuayccyaAEyc .
yuNOeyc Berdasarkan teorema Girsarnov, misalkan yuE = yua , maka .
aAEyc , yc Ou .
adalah gerak Brown standar dengan ukuran peluang Eo, dan .
cIEyc , yc Ou .
juga martingale dengan peluang Eo karena tidak ada drift.
JURNAL TRIGONOMETRI
VOL.
1 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
yuNOeyc Dari Lema 1, diperoleh yccyaAyc = yccyaAEyc Oe yua yccyc.
Substitusikan bentuk ini ke Persamaan ( 2 ), maka diperoleh yccycIyc = yuNycIyc yccyc yuaycIyc yccyaAyc yuNOeyc = yuNycIyc yccyc yuaycIyc .
ccyaAEyc Oe yccy.
yua = ycycIyc yccyc yuaycIyc yccyaAEyc .
Dengan menggunakan Formula Ito diatas, diperoleh ycIyc dengan ukuran peluang Eo adalah ycIyc = ycI0 yce (.
cOe yua2 )yc yuayaAEyc ) .
Self-Financing Misalkan yaycN adalah payoff dari sebuah klaim pada waktu jatuh tempo ycN, dengan yaycN adalah sebuah peubah acak yang dapat diukur dengan Eyc .
Asumsikan bahwa klaim tersebut memiliki ekspektasi yang terbatas pada waktu ycN.
Klaim ini dikatakan dapat direplikasi jika terdapat portofolio selffinancing, yu, sehingga nilai akhir portofolio tersebut sama dengan yaycN , dengan ukuran peluang risk-neutral Eo.
Definisi 5 (Etheridge, 2.
Strategi self-financing didefinisikan oleh pasangan proses yang dapat diprediksi .
ayc0 , 0 O yc O ycN}, .
ayc , 0 O yc O ycN}, masing-masing menotasikan proses stokastik tak berisiko, ycI0 , dan proses stokastik berisiko, ycI, yang termuat dalam portofolio pada waktu yc, memenuhi ycN ycN O .
ayc0 | yccyc O .
yccyc < O .
engan peluang sat.
, dan yc yc yayc ycIyc yayc ycIyc = ya0 ycI0 ya0 ycI0 O yayc yccycIyc O yayc2 yccycIyc .
engan peluang sat.
, untuk setiap yc OO .
, ycN].
Lema 2 (Etheridge, 2.
Misalkan .
ayc0 , 0 O yc O ycN} dan .
ayc , 0 O yc O ycN} adalah proses yang dapat diprediksi dan memenuhi ycN ycN O .
ayc0 | yccyc O .
yccyc < O .
engan peluang sat.
Misalkan Eyc .
a 0 , y.
= yce Oeycyc yuyc .
a 0 , y.
a 0 , y.
= yayc0 ycIyc0 yayc ycIyc , yu Maka .
ayc , yayc , 0 O yc O ycN} mendefinisikan strategi self-financing jika dan hanya yc Eyc .
a 0 , y.
= yu E0 .
a 0 , y.
O yayc yccycIEyc .
yu Bukti.
Misalkan portofolio yc .
a 0 , y.
adalah self-financing, maka E yc .
a 0 , y.
= ycc.
ce Oeycyc yc .
a 0 , y.
) ycc = Oeycycyce Oeycyc yc .
a 0 , y.
yccyc yce Oeycyc yccyc .
a 0 , y.
= Oeycycyce Oeycyc .
ayc0 yce ycyc yayc ycIyc )yccyc yce Oeycyc yayc0 ycc.
ce ycyc ) yce Oeycyc yayc yccycIyc = yayc (Oeycyce Oeycyc ycIyc yccyc yce Oeycyc yccycIyc ) = yayc yccycIEyc .
Integralkan kedua sisi, maka diperoleh JURNAL TRIGONOMETRI VOL.
1 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
yc E yc .
a 0 , y.
= E 0 .
a 0 , y.
O yayc yccycIEyc Misalkan yaycN adalah klaim pada waktu ycN yang akan direplikasi.
Selanjutnya, berdasarkan Lema 2, diperlukan suatu proses yang dapat diprediksi, .
ayc , 0 O yc O ycN}, sedemikian sehingga klaim yaycN dapat direplikasi dengan suatu portofolio yang mempunyai yayc aset berisiko dan yayc0 aset tak berisiko pada waktu yc, dengan yayc0 dipilih sehingga memenuhi yc E yc .
a 0 , y.
= yayc ycIEyc yayc0 yce Oeycyc = ya0 O yayc yccycIEyc .
Berdasarkan Lema 2, portofolio tersebut adalah self-financing, sehingga yuycN = yaycN .
Nilai wajar dari klaim pada waktu yc = 0 dapat ditentukan menggunakan definisi dan teorema berikut.
Definisi 6 (Etheridge, 2.
Suatu .
cAyc , yc Ou .
dikatakan Eyc -martingale yang dapat diintegralkan kuadrat .
quare-integrabl.
jika ya[.
cAyc .
] < O untuk setiap yc > 0.
Teorema 3 (Etheridge, 2.
Misalkan .
aAyc , yc Ou .
adalah gerak Brown dengan filtrasi natural {Eyc , yc Ou .
Jika .
cAyc , yc Ou .
adalah Eyc -martingale yang dapat diintegralkan kuadrat .
quare-integrabl.
, maka terdapat proses yang diadaptasi dari {Eyc , yc Ou .
, .
ayc , 0 O yc O ycN}, sedemikian sehingga yc ycAyc = ycA0 O yayc yccyaAyc .
Teorema 4 (Etheridge, 2.
Misalkan Eo adalah pengukuran yang diberikan oleh Lema 1.
Misalkan suatu klaim pada waktu ycN diberikan peubah acak tak negatif yaycN OO EycN .
Jika yiEo .
aycN2 ] < O maka klaim dapat direplikasi dan nilai pada waktu yc dari suatu portofolio yang direplikasi diberikan oleh yuyc = yiEo .
ce Oeyc.
cNOey.
yaycN |Eyc ].
Khususnya, nilai wajar pada waktu yc = 0 diberikan oleh yu0 = yiEo .
ce OeycycN yaycN ] = yiEo .
aEycN ].
Bukti.
Berdasarkan Teorema 3, terdapat proses .
ayc , 0 O yc O ycN} sehingga yc yaEycN = ya0 O yayc yccycIEyc , maka dapat dikonstruksi suatu portofolio yang dapat direplikasi yang mepunyai nilai pada waktu yc memenuhi yc E yc .
a 0 , y.
= ya0 O yayc yccycIEyc .
Dengan sifat martingale, diperoleh yc E yc .
a 0 , y.
= yiEo .
a0 O yayc yccycIEyc | Eyc ] = yiEo .
aEycN |Eyc ] = yiEo .
ce OeycycN yaycN |Eyc ].
Untuk diskonto pada interval .
, y.
diperoleh yc .
a 0 , y.
= yce ycycN yiEo .
ce OeycycN yaycN |Eyc ] = yiEo .
ce Oeyc.
cNOey.
yaycN |Eyc ] Diperoleh bahwa, dengan ukuran peluang risk-neutral, nilai klaim dapat dihitung dengan mendiskontokan hasil ekspektasi payoff pada tingkat imbal
JURNAL TRIGONOMETRI
VOL.
1 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
hasil bebas risiko.
Untuk menentukan niali wajar klaim pada waktu yc, diberikan proposisi berikut.
Proposisi 1 (Etheridge, 2.
Nilai klaim pada waktu yc dengan payoff pada waktu jatuh tempo ycN diberikan oleh yaycN = yu.
cIycN , ycN) adalah yuyc = yu.
cIyc , y.
, dengan O yu.
cIyc , y.
= yce Oeyc.
cNOey.
O yc2 Oe yua2 yce 2 .
cOe ).
cNOey.
yuaycOoycNOeyc yu .
cuyce )y yccyc Oo2yuU OeO Bukti.
Dari Teorema 4 diperoleh bahwa harga opsi pada waktu yc adalah yu.
cIyc , y.
= yiEo .
ce Oeyc.
cNOey.
cIyc , y.
|Eyc ] .
dengan Eo adalah pengukuran martingale yang diperoleh pada Teorema 2.
yuNOeyc Dengan ukuran peluang Eo, diperoleh bahwa yaAEyc = yaAyc yua yc adalah gerak Brown, dan yua2 .
uayaA Oe ycN) ycIycN = ycIE0 yce ycN 2 yce ycycN .
Misalkan ycIycN = ycIycN ycIyc , sehingga yc )Oe .
cNOey.
ycIEycN = ycIyc yce yc.
cNOey.
yce yua.
aAycN OeyaAyc 2yua Substitusikan Persamaan ( 6 ) pada Persamaan ( 5 ), diperoleh yu.
cIyc , y.
= yiEo .
ce yc.
cNOey.
cIyc yce yc.
cNOey.
yce yua.
aAycN OeyaAyc )Oe yua2 .
cNOey.
)| Eyc ].
Karena dengan ukuran peluang Eo dan informasi pada Eyc , maka yaAEycN Oe yaAEyc berdistribusi Normal dengan mean 0 dan variansi .
cN Oe y.
, sehingga O cIyc , y.
= O
cNOey.
)y yce Oeyc.
cNOey.
cIyc yce yc.
cNOey.
yce yuaycOe2yua OeO = yce Oeyc.
cNOey.
O yce Oe yc2 2.
cNOey.
Oo2yuU.
cN Oe y.
yccyc yc2 Oe yua2 yce 2 .
cOe ).
cNOey.
yuaycOoycNOeyc yu .
cuyce )y yccyc Oo2yuU OeO Dengan menggunakan Proposisi 1, maka nilai klaim pada waktu yc dapat dihitung, yang diberikan pada Proposisi berikut.
Proposisi 2 Misalkan payoff suatu klaim diberikan oleh ycE.
cIycN , ycN, .
= .
a Oe ycIycN ) .
Nilai risk-neutral klaim pada waktu yc, 0 O yc O ycN, diberikan oleh ycE.
cIyc , y.
dengan ycE.
cIyc , yc, .
= yayce Oeyc.
cNOey.
cu2 ) Oe ycIyc yuo.
cu1 ), .
ya ycoycu Oe .
c 2 yua ) .
cN Oe y.
ycu1 = ycIyc yuaOoycN Oe yc ycu2 = ycu1 yuaOoycN Oe yc, dan yuo(UI) adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Normal Standar.
Bukti.
Dengan menggunakan Proposisi 1, maka nilai klaim risk-neutral diberikan oleh O ycE.
cIyc , yc, .
= yce Oeyc.
cNOey.
O yc2 Oe yua2 yce 2 .
cOe ).
cNOey.
yuaOoycNOeycycu .
a Oe ycIyc yce ) y yccyc.
OeO Misalkan ycu2 adalah nilai yc ketika ycIyc yce yua2 .
cOe ).
cNOey.
yuaOoycNOeycyc Oo2yuU = ya, sehingga JURNAL TRIGONOMETRI VOL.
1 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
ycu2 = ya ln ycI Oe .
c Oe 2 yua 2 ) .
cN Oe y.
yc yuaOoycN Oe yc Karena integran (A) bernilai 0 untuk yc > ycu2 , maka ycE.
cIyc , yc, .
= yce Oeyc.
cNOey.
O ycu2 yc2 Oe yua2 yce 2 .
cOe ).
cNOey.
yuaOoycNOeycyc .
a Oe ycIyc yce )y yccyc.
OeO = yayce Oeyc.
cNOey.
cu2 ) Oe ycIyc ycu2 O yceOe .
cOeyuaOoycNOey.
Oo2yuU yccyc.
Oo2yuU OeO dengan yuo(UI) adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Normal Standar.
Misalkan ycu = yc Oe yuaOoycN Oe yc, sehingga ycu Ie ycu2 Oe yuaOoycN Oe yc ketika yc Ie ycu2 .
Kemudian, misalkan ycu1 = ycu2 Oe yuaOoycN Oe yc, sehingga ya ln ycI Oe .
c 2 yua 2 ) .
cN Oe y.
yc ycu1 = yuaOoycN Oe yc Dengan demikian, nilai klaim pada waktu yc adalah ycE.
cIyc , yc, .
= yayce Oeyc.
cNOey.
cu2 ) Oe ycIyc yuo.
cu1 ), ya ln ycI Oe .
c 2 yua 2 ) .
cN Oe y.
ycu1 = yc yuaOoycN Oe yc ycu2 = ycu1 yuaOoycN Oe yc, dan yuo(UI) adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Normal Standar.
Nilai Klaim Menggunakan Ekspektasi Perhatikan bahwa, .
a Oe ycIycN ) dapat dituliskan dengan .
a Oe ycIycN )yiA.
a>ycIycN ) , dengan yiA.
a>ycIycN ) adalah peubah acak indikator yang memberikan jika ya > ycIycN yiA.
a>ycIycN ) = { Selanjutnya diperoleh Lema berikut.
Lema 3 Misalkan model ycIyc diberikan pada Persamaan ( 4 ), maka diperoleh yiEo .
a>ycIycN ) ] = yuo.
cu2 ) dan yiEo .
cIycN >y.
] = 1 Oe yuo.
cu2 ), dengan ycu2 merupakan notasi yang sama pada Proposisi 2.
Bukti.
Dari Persamaan ( 6 ), diperoleh ycIycN = ycIyc yce .
cOe2yua )yc yuaOoycNOeycycs , ycsye.
, yiEo .
a>ycIycN ) ] = Eo.
a > ycIycN ) = Eo .
a > ycIyc yce .
cOe2yua )yc yuaOoycNOeycycs ) = Eo .
cs < ya ln ycI Oe .
c Oe 2 yua 2 ) .
cN Oe y.
yc yuaOoycN Oe yc = Eo.
cs < ycu2 ) = yuo.
cu2 ) yiEo .
cIycN >y.
] = Eo.
a < ycIycN ) JURNAL TRIGONOMETRI VOL.
1 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
= Eo .
cIyc yce .
cOe2yua )yc yuaOoycNOeycycs > y.
= 1 Oe Eo .
cs < ya ln ycI Oe .
c Oe 2 yua 2 ) .
cN Oe y.
yc yuaOoycN Oe yc = 1 Oe yuo.
cu2 ) Diperoleh nilai wajar klaim pada waktu yc dengan fungsi payoff pada waktu jatuh tempo ycN diberikan oleh ycE.
cIycN , ycN, .
= .
a Oe ycIycN ) , dengan menggunakan Proposisi 2, diberikan oleh ycE.
cIyc , yc, .
= yayce Oeyc.
cNOey.
cu2 ) Oe ycIyc yuo.
cu1 ), ya .
ln ycI Oe .
c 2 yua 2 ) .
cN Oe y.
ycu1 = yc yuaOoycN Oe yc ycu2 = ycu1 yuaOoycN Oe yc, dan yuo(UI) adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Normal Standar.
Hasil ini sama dengan harga opsi put yang diperoleh oleh Black dan Scholes .
Nilai Klaim dengan Biaya Misalkan ya.
cIycN , ycN, yc.
adalah payoff dengan melibatkan biaya, maka secara matematis dapat ditulis ya Oe ycIycN , jika ya > ycIycN ya.
cIycN , ycN, yc.
= { .
yca, dengan yca adalah biaya tambahan yang bernilai konstan.
Persamaan ( 9 ) dapat ditulis kembali sebagai berikut ya.
cIycN , ycN, yc.
= .
a Oe ycIycN )yiA.
a>ycIycN ) ycayiA.
cIycN >y.
( 10 ) dengan yiAya (UI) adalah peubah acak indikator dari himpunan ya.
Berdasarkan kerangka kerja Black-Scholes, ycIycN diasumsikan mengikuti gerak Brown geometri, sehingga (.
cOe yua )yc yuayaAEyc ) ( 11 ) ycIyc = ycI0 yce Dengan ycsye.
Dalam hal ini, nilai klaim dapat dihitung dengan mendiskontokan ekspektasi payoff pada Persamaan ( 10 ).
Teorema 5 Misalkan ycIyc berdistribusi Lognormal dengan ukuran riskneutral, yang diberikan pada Persamaan ( 11 ).
Jika fungsi payoff pada waktu jatuh tempo diberikan oleh ya.
cIycN , ycN, yc.
= .
a Oe ycIycN )yiA.
a>ycIycN ) ycayiA.
cIycN >y.
maka nilai klaim pada waktu t diberikan oleh ya.
cIyc , yc, yc.
= yayce Oeyc.
cNOey.
c2 ) Oe ycIyc yuo.
c1 ) ( 12 ) Oeyc.
cNOey.
Oe yuo.
c2 )) ya ycoycu .
cI ) Oe .
c 2 yua ) .
cN Oe y.
yc1 = yc yuaOoycN Oe yc yc2 = yc1 yuaOoycN Oe yc dengan yu(A) adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Normal Standar.
JURNAL TRIGONOMETRI
VOL.
1 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
Bukti.
Dengan pengukuran risk-neutral, nilai sekarang .
c, 0 O yc O ycN), dapat diperoleh dengan ekspektasi payoff pada waktu jatuh tempo, ycN, yang didiskontokan pada tingkat imbal hasil bebas risiko, sehingga ya.
cI, yc, yc.
= yi .
ce Oeyc.
cNOey.
a Oe ycI )yiA.
a>ycI ) ycayiA.
cI ycN ycN ycN >y.
= yi.
ce Oeyc.
cNOey.
a Oe ycIycN )yiA.
a>ycIycN ) ] ycayce Oeyc.
cNOey.
cIycN>y.
] = ycE.
cI, yc, .
ycayce Oeyc.
cNOey.
cIycN >y.
] Dari Persamaan ( 8 ) telah diperoleh ycE.
cI, yc, .
= yayce Oeyc.
cNOey.
c2 ) Oe ycOyc yuo.
c1 ).
Dengan menggunakan Lema 3, diperoleh yi.
cIycN >y.
] = 1 Oe yuo.
c2 ) Sehingga solusi untuk Persamaan ( 10 ) diberikan oleh ya.
cIyc , yc, yc.
= yayce Oeyc.
cNOey.
c2 ) Oe ycIyc yuo.
c1 ) ycayce Oeyc.
cNOey.
Oe yuo.
c2 )) ya ln .
cI ) Oe .
c 2 yua 2 ) .
cN Oe y.
yc1 = yc yuaOoycN Oe yc yc2 = yc1 yuaOoycN Oe yc dengan yu(A) adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Normal Standar.
Misalkan yc.
cIyc , yc, yc.
adalah nilai klaim per satu aset yang dilindungi, dan misalkan ycOyc = yayce Oeyc.
cNOey.
, maka ya.
cIyc , yc, yc.
cIyc , yc, yc.
ycOyc ycIyc yca = yuo.
c2 ) Oe yuo.
c1 ) .
Oe yuo.
c2 )) ycOyc ya ycIyc Misalkan ycc = ycO , maka yc yc.
cIyc , yc, yc.
= yuo(Ea2 ) Oe yuo(Ea1 ) yca O .
Oe yuo(Ea2 )), ( 13 ) ycc yua 2 .
cN Oe y.
ln ycc Oe Ea1 = yuaOoycN Oe yc Ea2 = Ea1 yuaOoycN Oe yc yca ycaO = ya Analisis Sensitifitas Selanjutnya, dilakukan simulasi model yang telah diperoleh pada Persamaan ( 13 ).
Dari model yang telah diperoleh, nilai klaim tanpa biaya ekivalen dengan biaya sama dengan 0.
Berikut adalah hasil simulasi model menggunakan data masukan pada Tabel 1, dan beberapa nilai biaya, yca O = 0.
Tabel 1.
Data masukan untuk Persamaan ( 13 ) Masukan Nilai yc
0,0572
0,05
yua ycN 252 hari JURNAL TRIGONOMETRI VOL.
1 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
Gambar 1 Grafik nilai klaim dengan beberapa porsi biaya tambahan Dari hasil analisis sensitifitas diatas, diperoleh bahwa semakin besar biaya tambahan yang diberikan pada fungsi payoff, maka akan menghasilkan nilai klaim yang semakin besar juga.
Hasil ini diperkaran karena biaya tambahan bernilai konstan, dan hasil analitis klaim menunjukkan adaya penambahan nilai yang positif.
KESIMPULAN DAN SARAN
Dari hasil perhitungan secara analitis, dengan adanya penambahan biaya sehingga payoff menjadi ya Oe ycIycN , jika ya > ycIycN ya.
cIycN , ycN, yc.
= { yca.
Maka, diperoleh nilai klaim pada waktu t ya.
cIyc , yc, yc.
= yayce Oeyc.
cNOey.
c2 ) Oe ycIyc yuo.
c1 ) ycayce Oeyc.
cNOey.
Oe yuo.
c2 )) ya ln ( ) Oe .
c yua 2 ) .
cN Oe y.
ycIyc yc1 = yuaOoycN Oe yc yc2 = yc1 yuaOoycN Oe yc dengan yu(A) adalah fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Normal Standar.
Dari hasil simulasi, diperoleh bahwa semakin besar biaya yang masukkan, semakin besar juga nilai klaim yang dihasilkan.
Penelitian ini menunjukkan bahwa memasukkan elemen biaya dalam perhitungan payoff memiliki dampak signifikan terhadap penentuan nilai Biaya yang lebih tinggi menyebabkan peningkatan nilai klaim.
REFERENSI