Jurnal Riset Rumpun Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (JURRIMIPA) Vol.
No.
2 Oktober 2023 p-ISSN: 2828-9382.
e-ISSN: 2828-9390.
Hal 311-326 DOI: https://doi.
org/10.
55606/jurrimipa.
Himpunan Kritis pada Graf Bintang Dian Mestika Sari Universitas Negeri Medan Korespondensi penulis: dianmestika26@email.
Mulyono Mulyono Universitas Negeri Medan Abstract.
Labeling is a one-to-one mapping that maps each element of a graph to Positive numbers called labels.
One of its kind is edge-magic total labeling.
Under special conditions, the results set of labeled graphs whose subsets are labeled and positioned, which builds the same graph as the labeling, is called the critical set.
obtain the critical set of a graph we must know the type of graph.
In this study is a star graph.
This study aims to determine the critical set in star graphs.
The star graph used is the K1.
5 star graph using center points 1, n 1 and 2n 1.
The research results show that by labeling the total magic side of the K1.
5 star graph with center point .
= 1, the magic number k=14 is obtained.
The possible critical set of K1.
5 graphs is 120.
In the K1.
Star Graph with center point .
= n 1, the magic number k=18 is obtained.
The possible critical set of K1.
graphs is 120.
In the K1.
5 Star Graph with center point .
= 2n 1, the magic number k=22 is obtained.
The possible critical set of K1.
5 graphs is 120.
Keywords: Edge-Magic Total Labeling.
Critical Set.
Star Graph.
Abstrak.
Pelabelan adalah pemetaan satu-satu yang memetakan setiap elemen dari graf ke bilangan positif yang dinamakan dengan label.
Salah jenisnya yaitu pelabelan total sisi-ajaib.
Dalam kondisi khusus himpunan hasil dari pelabelan graf yang subhimpunan label dan posisinya, yang membangun graf yang sama dengan pelabelannya tersebut secara tunggal disebut dengan himpunan kritis.
Untuk memperoleh himpunan kritis dari suatu graf kita harus mengetahui jenis graf tersebut.
Pada penelitian ini adalah graf bintang.
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan himpunan kritis pada graf bintang.
graf bintang yang digunakan adalah graf bintang K1,5 dengan menggunakan titik pusat 1, n 1 dan 2n 1.
Hasi penelitian menunjukkan pada pelabelan total sisi ajaib Graf Bintang K1,5 dengan titik pusat .
= 1 diperoleh bilangan ajaib k=14.
Himpunan kritis graf K1,5 yang memungkinkan sebanyak 120.
Pada Graf Bintang K1,5 dengan titik pusat .
= n 1 diperoleh bilangan ajaib k=18.
Himpunan kritis graf K1,5 yang memungkinkan sebanyak 120.
Pada Graf Bintang K1,5 dengan titik pusat .
= 2n 1 diperoleh bilangan ajaib k=22.
Himpunan kritis graf K1,5 yang memungkinkan sebanyak 120.
Kata kunci: Pelabelan Total Sisi-Ajaib.
Himpunan Kritis.
Graf Bintang.
LATAR BELAKANG
Dari sudut pandang matematika, teori graf awalnya hanya dimanfaatkan sebagai solusi untuk memecahkan permasalahan teka-teki, jadi pada saat itu teori graf tidak AysangatAy penting pada awalnya, tetapi akhirnya berkembang sangat cepat dalam beberapa dekade terakhir (Daniel dan Taneo 2.
Graf ialah bentuk dari salah satu pemodelan matematika yang proses pembentukannya sulit dan sangat kompleks, namun demikian teori graf menawarkan solusi yang dapat diterapkan dengan sangat baik untuk dalam mengatasi masalah tertentu.
Banyak permasalahan yang dapat dijumpai didalam kehidupan sehari-hari yang dapat diaplikasikan dengan menggunakan graf, seperti puzzle games, transportation problem, operation research dan lain sebagainya (Mutianingsih 2.
Graf digunakan untuk untuk merepresentasikan Received Oktober 07, 2023.
Accepted Oktober 22, 2023.
Published Januari 24, 2024 *Dian Mestika Sari, dianmestika26@email.
Himpunan Kritis pada Graf Bintang objek-objek diskrit dan hubungannya antara objek-objek tersebut (Daniel dan Taneo 2.
Representasi visual pada graf ialah merepresentasikan objek sebagai simpul, atau yang disebut juga dengan titik, sedangkan representasi hubungan antar objek-objeknya direpresentasikan dengan edge, sisi atau garis .
Nilai dari titik .
dan garis merupakan bilangan asli.
Untuk menentukan nilai dari titik .
dan garis digunakan pelabelan.
Pada pelabelan graf hasil yang diperoleh berupan nilai simpul dan sisi.
Nilai simpul dan sisi tersebut berupa suatu himpunan yang memetakan sisi terhadap simpul.
Dalam kondisi khusus himpunan hasil dari pelabelan graf yang subhimpunan label dan posisinya, yang membentuk graf yang persis .
dengan hasil pelabelan grafnya dan hasil pelabelannya hanya dapat membentuk satu graf disebut dengan himpunan kritis.
(Hardi dkk.
menyatakan bahwa permasalah penentuan himpunan kritis dari sebuah pelabelan graf ialah permasalahan yang cukup rumit dan kompleks karena dalam menentukan subhimpunanya kemungkinan yang diperoleh dari subhimpunan label yang harus di periksa pada graf tersebut jumlahnya sangat banyak, dan juga setelah itu tiap-tiap subset .
ub himpuna.
tersebut dicari subhimpunan label yang memenuhi syarat dapat menciptakan pelabelan graf secara unik .
Dalam menentukan himpunan kritis setiap graf mempunyai aturan yang berbeda-beda.
Maka, untuk menentukan himpunan kritis dari suatu graf kita harus mengetahui jenis graf Graf yang digunakan dalam pengaplikasian konsep himpunan kritis pada penelitian ini adalah graf bintang.
KAJIAN TEORITIS
Pelabelan pada simpul dan pelabelan sisi dari sebuah graf dapat dilakukan menggunakan berbagai cara.
Salah satu metode yang dapat diterapkan ialah dengan cara melakukan pelabelan dengan menggunakan bilangan.
Beberapa jenis dari pelabelan graf yang sudah dilakukan pengembangan ialah pelabelan harmoni, pelabelan total tidak teratur, pelabelan gracefull, pelabelan anti ajaib dan pelabelan ajaib.
Dalam prosesnya pelabelan ajaib dikembangkan menjadi beberapa jenis pelabelan yaitu pelabelan total super simpul ajaib, pelabelan total super sisi ajaib, pelabelan total sisi ajaib dan pelabelan total simpul ajaib.
Pada graf G suatu pelabelan total sisi ajaib ialah merupakan pemetakan fungsi bijektif yce: ycO.
O ya.
Ie .
, 2, .
, ycy y.
yang dimana nilai p ialah jumlah dari banyaknya simpul sedangkan q ialah jumlah dari banyaknya sisi, dengan demikian pada tiap sisi ycyc OO ya.
, pada tiap bobot sisi yc.
= yce.
= yco, dengan k merupakan konstanta dengan JURRIMIPA: Jurnal Riset Rumpun Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam - Vol.
No.
2 Oktober 2023 p-ISSN: 2828-9382.
e-ISSN: 2828-9390.
Hal 311-326 nilai bilangan bulat positif.
Pada pelabelan total sisi ajaib super ini nilai k deiberi nama dengan konstanta ajaib.
Pelabelan total sisi ajaib f dinyatakan merupakan pelabelan total sisi ajaib super dari suatu graf G jika memenuhi sifat yce: ycO.
O ya.
Ie .
, 2, .
, yc.
dan sifat yce: ycO.
O ya.
Ie .
cy 1, ycy 2, .
, ycy y.
(Hardi dkk.
Masalah penentuan himpunan kritis pada pelabelan suatu graf ialah permasalahan yang rumit dan cukup sulit.
Hal tersebut disebabkan banyaknya kemungkinan sub himppunan dari suatu graf seiring dengan bertambahnya jumlah simpul dan sisinya sehingga perlu dilakukan pengujian setiap subset untuk mengetahui subset mana yang dapat membentuk satu-satun ya pelabelan dari graf tersebut (Baskoro 2.
Konsep himpunan kritis pertama kali diaplikasikan terhadap persegi latin.
Dengan demikian prinsip himpunan kritis yang digunakan ialah prinsip himpunan kritis pada persegi Berikut ini ialah salah satu bentuk contoh himpunan kritis dari sebuah persegi latin L yang memilliki ukuran 3 y 3:
Gambar 1: .
Persegi Laten L .
Himpunan Kritis Dari Gambar diatas dapat dilihat bahwa gambar 1b merupakan himpunan kritis dari persegi laten.
Hal tersebut karena gambar 1b jika diteruskan hanya dapat membentuk satu persegi laten pada gambar 1a.
Pada gambar 1b hanya dapat menghasilkan satu persegi laten dan masing-masing sub himpunan dari gambar 1b dapat membentuk lebih dari satu persegi Sifat inilah yang diterapkan pada graf yang akan ditentukan himpunan kritisnya.
Misalkan terdapat graf G yang diberikan pelabelan yuI.
Dimisalkan pelabelan ycE = .
cE1 , ycE2 , ycE3 , .
, ycEyca }, .
cE | = yca, pada pelabelan yuI dari sebuah graph G, ialah set .
ycEycn = .
c, ycyc ) yang dimana j ialah posisi label dari sebuah simpul atau sebuah sisi dengan label ajaibnya yaitu ycuyc .
ycE .
merupakan sebuah himpunan kritis dari pelabelan yuI pada sebuah graph G apabila himpunan tersebuh memenuhi syarat berikut (Adithia 2.
Himpunan kritis ycE .
hanya dapat membentuk yuI pada sebuah graph G.
Artinya Himpunan kritis Q(G) hanya dapat membentuk satu pelabelan.
Himpunan Kritis pada Graf Bintang Setiap sub himpunan dari himpunan kritis ycE .
tidak mempunyai sifat .
Artinya setiap sub himpunan dari himpunan kritis Q(G) harus dapat membentuk lebih dari satu pelabelan Apabila sebuah himpunan kritis ycE .
mempunyai sebanyak c anggota maka dengan demikian himpunan kritisnya harus berukuran c.
Sebuah Himpunan kritis ycE dinyatakan minimal apabila ukuran pada tiap himpunan kritis lainnya lebih besar ataupun sama dengan ycE .
METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini dilaksanakan di Perpustakaan Universitas Negeri Medan dan waktu yang dibutuhkan dalam menyelesaiakan penelitiann yaitu satu tahun.
Jenis penelitian yaitu riset kepustakaan atau studi literatur.
Penelitian dilakukan dengan pengumpulan literatur-literatur yang relevan dengan pembahasan penelitian seperti buku-buku, jurnal-jurnal, penelitian terdahulu maupun dokumen-dokumen referernsi lainnya dan kemudian dilakukan penelaahan terhadap literatur yang sudah diperoleh.
Adapun skema prosedur penelitian yang akan Gambar 2: Skema Prosedur Penelitian JURRIMIPA: Jurnal Riset Rumpun Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam - Vol.
No.
2 Oktober 2023 p-ISSN: 2828-9382.
e-ISSN: 2828-9390.
Hal 311-326
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pelabelan Total Sisi Ajaib Pada Graf Bintang Graf bintang K1,n merupakan sebuah graf dengan jumlah simpulnya yakni ycu 1 simpul, yang dimana salah satu simpul yang memiliki derajat n, yang diberi nama simpul pusat, dan untuk n simpul lainnya yang memiliki derajat satu, yangdiberi nama simpul daun.
Pada Lemma 1 berikut ini akan dijelaskan hal tersebut.
Lemma 4.
Label simpul pusat untuk pelabelan total sisi ajaib graf bintang ialah simpul pusat 1, simpul pusat n 1, dan simpul pusat 2n 1.
Bukti.
Berikut ialah gambar graf bintang ya1,ycu .
Gambar 3: Graf Bintang ya1,ycu Akan diperlihatkan bukti untuk suatu pelabelan ajaib pada sebuah graf bintang ya1,ycu label yang mungkin untuk simpul pusat yakni simpul pusat 1, simpul pusat n 1, dan simpul pusat 2n 1.
Andaikan untuk simpul pusatnya dilabeli menggunakan x, yakni .
= x.
Simpul daunnya diberi pelabelan 1, 2, 3, .
, n.
Pada bagian sisi lainnya diberi label .
, .
, .
, .
, .
Dengan demikian maka ycoycu = .
cu yc.
Dikarenakan label simpul pusat x termasuk di antara label simpul 1, 2, 3, .
, n, sehinggan persamaannya menjadi ycoycu = .
cu Oe .
ycu 1 2 3 .
= ycu .
cu Oe .
cu Himpunan Kritis pada Graf Bintang = .
cu Oe .
= .
cuycu Oe yc.
Lemma .
direduksi dengan menggunakan modulo n, maka dihasilkan:
ycu O .
O 1 .
Sehingga didapat setiap label simpul pusat yaitu simpul pusat 1, simpul pusat .
, dan simpul pusat .
Teorema 4.
Terdapat sebanyak 3.
2ycu jumlah pelabelan ajaib yang ada pada graf ya1,ycu yang sama Bukti.
Misalkan terdapat sebuah graf bintang ya1,ycu dimana ycO.
a1,ycu ) = {.
O .
cycn }.
O ycn O yc.
a1,ycu ) = .
O ycn O yc.
Kasus yang memungkinkan untuk pelabelan ajaib menurut Lemma 4.
1 ialah .
= 1, yang dimana bilangan ajaibnya yakni yco = 2ycu 4, atau .
= n 1, yang dimana bilangan ajaibnya yco = 3ycu 3, atau .
= 2n 1, yang dimana bilangan ajaibnya yakni yco = 4ycu 2.
Berikutnya akan dilakukan peninjauan terhadap tiap kasus diatas.
Untuk .
= 1.
Dikarenakan pada graf ya1,ycu pelabelanya ialah pelabelan ajaib, dengan demikian maka jumlah dari .
nilainya harus sama dengan M , dimana M = k Oe .
Sehingga diperoleh:
ycA O 2ycu 4 Oe 1 O 2ycu 3 .
Akibatnya hanya ada satu cara utuk mempartisi 2ycu 1 kedalam bilangan bulat, yakni 1, 2, 3, .
, 2ycu 1 kedalam n 1 himpunan .
, .
ca1 , yca1 }, .
ca2 , yca2 }, .
, .
cayco , ycayco }} dimana setiap ycaycn ycaycn = ycA dan ycaycn yuI.
cycn ), ycaycn = yuI.
ceycn ).
Agar lebih mudah, pilihlah label sedemikian sehingga ycaycn < ycaycn untuk setiap ycn = 1, 2, 3, .
, ycu dan yca1 < yca2 <.
< ycaycu .
Selanjutnya diasumsikan bahwa .
cycn ), yuI.
ceycn )} = .
caycn , ycaycn }.
Untuk masing-masing n himpunan mempunyai dua pilihan, yang memiliki kesesuaian dengan yuI.
cycn ) = ycaycn atau yuI.
cycn ) = ycaycn , sehingga didapat 2n pelabelan sisi ajaib pada graf bintang ya1,ycu untuk yuI.
= 1.
JURRIMIPA: Jurnal Riset Rumpun Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam - Vol.
No.
2 Oktober 2023 p-ISSN: 2828-9382.
e-ISSN: 2828-9390.
Hal 311-326 Dengan menggunakan cara yang sama untuk yuI.
= ycu 1 dan yuI.
= 2ycu 1, juga didapat 2n pelabelan sisi ajaib pada graf bintangya1,ycu .
Sehingga masing-masing tiga nilai dari .
memberikan 2n pelabelan ajaib pada graf bintang ya1,ycu .
Jadi, diperoleh 2ycu pelabelan sisi ajaib pada graf bintang ya1,ycu yang sama.
Pada pelabelan sisi ajaib terhadap graf bintang ya1,ycu .
Dengan demikian didapat 2ycu pelabelan sisi ajaib pada graf bintang ya1,ycu terdapat tiga kemungkinan label untuk simpul pusat, yakni 1, ycu 1, atau 2ycu 1.
Pada masing-masing kasus tersebut diperoleh bilangan ajaib sebagai berikut, yuI.
= 1, dengan bilangan ajaib yco = 2ycu 4, yuI.
= ycu 1, dengan bilangan ajaib yco = 3ycu 3, dan yuI.
= 2ycu 1, dengan bilangan ajaib yco = 4ycu 2.
Kemudian, telah ditunjukkan kembali bahwa untuk setiap kemungkinan label untuk titik pusat tersebut, terdapat 2n kemungkinan pelabelan ajaib pada ya1,ycu Sehingga diperoleh 3.
2ycu kemungkinan bentuk bentuk pelabelan sisi ajaib pada graf bintang ya1,ycu .
Pelabelan Total Sisi Ajaib Pada Graf Bintang ycya,ye Pada proses pelabelan total sisi ajaib terhadap graf bintang ya1,ycu sesuai dengan Lemma 1 didapat sebanyak tiga kemungkinan label untuk simpul pusatnya.
Simpul-simpul pusatnya yaitu 1, n 1, atau 2n 1.
Pada setiap simpul pusat yang memungkinkan diperoleh cara menentukan hasil bilangan ajaib yaiu, yuI.
= 1, dengan bilangan ajaib yco = 2ycu 4, yuI.
= ycu 1, dengan bilangan ajaib yco = 3ycu 3, dan yuI.
= 2ycu 1, bilangan ajaib diperoleh dengan persamaan yco = 4ycu 2.
Penggambaran graf bintang ya1,5 adalah sebagai berikut:
Gambar 4: Graf Bintang ya1,5 Berdasarkan gambar diatas dapat dilihat bahwa pada graf bintang ya1,5 terdapat 6 edge dan 5 vertex.
Himpunan Kritis pada Graf Bintang Simpul pusat yyA.
eE) = ya Gambar 5: Pelabelan Graf Bintang ya1,5 dengan yuI.
= 1 Berdasarkan gambar diatas dilakukan pelabelan pada setiap sisi dan simpul.
Hasil yang diperoleh dengan simpul pusat .
= 1 adalah sebagai betikut:
v1 = 1 v2 = 2 v3 = 3 v4 = 4 v5 = 5 v6 = 6 = 2n 1 = 2.
= 11
yce2 = 2n = 2.
= 10
yce3 = 2n Oe 1 = 2.
Oe 1 yce4 = 2n Ae 2 = 2.
Oe 2 yce5 = 2n Oe 3 = 2.
Oe 3 JURRIMIPA: Jurnal Riset Rumpun Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam - Vol.
No.
2 Oktober 2023 p-ISSN: 2828-9382.
e-ISSN: 2828-9390.
Hal 311-326 Setelah dilakukan pelabelan pada setiap dan sisi diperoleh bilangan ajaib yco = 2ycu 4 = 2.
4 = 14.
Dengan demikian maka dihasilkan pelabelan dengan simpul pusat .
= 1 adalah sebagai berikut:
Gambar 6: Hasil Pelabelan Graf Bintang ya1,5 dengan yuI.
= 1 Simpul pusat yyA.
eE) = yea ya Gambar 7: Pelabelan Graf Bintang ya1,5 dengan yuI.
= ycu 1 Berdasarkan gambar diatas dilakukan pelabelan pada setiap sisi dan simpul.
Hasil yang diperoleh dengan simpul pusat yuI.
= ycu 1 adalah sebagai berikut:
v1 = n 1
=5 1
v2 = 1 v3 = 2 v4 = 3 v5 = 4 v6 = 5 e1 = 2n 1 = 2.
Himpunan Kritis pada Graf Bintang
= 11
e2 = 2n = 2.
= 10
e3 = 2n Oe 1 = 2.
Oe1 e4 = 2n Ae 2 = 2.
Oe2 e5 = 2n Oe 3 = 2.
Oe3 Setelah dilakukan pelabelan pada setiap dan sisi diperleh bilangan ajaib yco = 3ycu 3 = 3.
3 = 18.
Dengan demikian maka dihasilkan pelabelan dengan simpul pusat yuI.
= ycu 1 adalah sebagai berikut:
Gambar 8: Hasil Pelabelan Graf Bintang ya1,5 dengan yuI.
= ycu 1 Simpul pusat yyA.
eE) = yayea ya Gambar 9: Pelabelan Graf Bintang ya1,5 dengan yuI.
= 2ycu 1 JURRIMIPA: Jurnal Riset Rumpun Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam - Vol.
No.
2 Oktober 2023 p-ISSN: 2828-9382.
e-ISSN: 2828-9390.
Hal 311-326 Berdasarkan gambar diatas dilakukan pelabelan pada setiap sisi dan simpul.
Hasil yang diperoleh dengan simpul pusat yuI.
= 2ycu 1 adalah sebagai berikut:
= 2n 1 = 2.
= 11
= 2n = 2.
= 10
= 2n Oe 1 = 2.
Oe1 = 2n Ae 2 = 2.
Oe2 = 2n Oe 3 = 2.
Oe3 = 2n Oe 4 = 2.
Oe4 e1 = 1 e2 = 2 e3 = 3 e4 = 4 e5 = 5 Setelah dilakukan pelabelan pada setiap dan sisi diperleh bilangan ajaib yco = 4ycu 2 = 4.
2 = 22.
Dengan demikian maka dihasilkan pelabelan dengan simpul pusat .
= 2n 1 adalah sebagai berikut:
Himpunan Kritis pada Graf Bintang Gambar 10: Hasil Pelabelan Graf Bintang ya1,5 dengan yuI.
= 2ycu 1 Himpunan Kritis Pada Graf Bintang ycya,ye Himpunan kritis pada graf ya1,5 dilakukan dengan mengaplikasikan sifat-sifat himpunan kritis yang diperoleh pada persegi latin.
Himpunan Kritis graf bintang pada setiap simpul pusat adalah sebagai berikut:
Simpul pusat yyA.
eE) = ya Hasil himpunan kritis dan pelabelan dari salah satu himpunan kritis dengan Himupan Kritis ycEyuI ={.
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
} adalah sebagai berikut:
Gambar 11: Posisi dan Salah Satu Himpunan Kritis Graf Bintang ya1,5 .
= .
Gambar 12: Hasil Pelabelan Himpunan Kritis Graf Bintang ya1,5 .
= .
JURRIMIPA: Jurnal Riset Rumpun Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam - Vol.
No.
2 Oktober 2023 p-ISSN: 2828-9382.
e-ISSN: 2828-9390.
Hal 311-326 Gambar 12 adalah hasil pelabelan dari Gambar 11.
Himpunan kritis Graf Bintang ya1,5 .
= .
pada gambar 11.
menghasilkan sebuah pelabelan ajaib.
Setiap Q hanya dapat membangun .
atu pelabelan ajai.
A pada ya1,5.
Setiap subset dari Q dapat membangun lebih dari satu .
Dengan demikian maka kelima himupnan tersebut merupakan himpunan kritis.
Apabila label sisi daun yang pada .
,3,4,5,.
label dilakukan penukaran posisi ataupun penukaran nilai label maka himpunan akan tetap menghasilkan himpunan kritis.
Dari kejadian diatas dapat menimpulkan kondisi Dimana Kelima label yang ada dapat menempati 4 posisi label dengan syarat satu label hanya dapat diletakkan di satu Posisi.
Dengan demikian untuk menentukan jumlah himppunan kritis dapat digunakan rumus permutasi sebagai berikut:
yaycycoycoycaEa Eaycnycoycyycycuycaycu ycoycycnycycnyc = ycE.
cu, y.
Keterangan:
ycu = Jumlah label atau sisi daun dari graf bintang ya1,ycu yc = Jumlah posisi label yang akan ditempati oleh label Berdasarkan persamaan diatas maka diperoleh jumlah himpunan kritis dari graf bintang ya1,5 adalah sebagai berikut:
yaycycoycoycaEa Eaycnycoycyycycuycaycu ycoycycnycycnyc = ycE.
cu, y.
= ycE.
ycu! = .
cuOey.
! = .
Oe.
! = 120 Maka diperoleh untuk jumlah himpunan kritis yang memungkinkan dari graf bintang ya1,5 adalah sebanyak 120 himpunan kritis.
Simpul pusat yyA.
eE) = yea ya Hasil himpunan kritis dan pelabelan dari salah satu himpunan kritis dengan Himpunan Kritis ycE ={.
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
} adalah sebagai berikut:
Gambar 13: Posisi dan Salah Satu Himpunan Kritis Graf Bintang ya1,5 .
= ycu .
Himpunan Kritis pada Graf Bintang Gambar 14: Hasil Pelabelan Himpunan Kritis Graf Bintang ya1,5 .
= ycu .
Gambar 14 adalah hasil pelabelan dari Gambar 13.
Himpunan kritis Graf Bintang ya1,5 .
ca ) = ycu .
pada gambar 13.
menghasilkan sebuah pelabelan ajaib.
Setiap Q hanya dapat membangun .
atu pelabelan ajai.
A pada K1,5.
Setiap subset dari Q dapat membangun lebih dari satu .
Dengan demikian maka kelima himupnan tersebut merupakan himpunan kritis.
Apabila label sisi daun yang pada .
,8,9,10,.
label dilakukan penukaran posisi ataupun penukaran nilai label maka himpunan akan tetap menghasilkan himpunan kritis.
Dari kejadian diatas dapat menimpulkan kondisi Dimana Kelima label yang ada dapat menempati 4 posisi label dengan syarat satu label hanya dapat diletakkan di satu Posisi.
Dengan demikian untuk menentukan jumlah himppunan kritis dapat digunakan rumus permutasi sebagai berikut:
yaycycoycoycaEa Eaycnycoycyycycuycaycu ycoycycnycycnyc = ycE.
cu, y.
= ycE.
ycu! = .
cuOey.
! = .
Oe.
! = 120 Maka diperoleh untuk jumlah himpunan kritis yang memungkinkan dari graf bintang ya1,5 adalah sebanyak 120 himpunan kritis.
Simpul pusat yyA.
eE) = yayea ya Hasil himpunan kritis dan pelabelan dari salah satu himpunan kritis dengan Himpunan Kritis ycE ={.
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
, .
} adalah sebagai berikut:
JURRIMIPA: Jurnal Riset Rumpun Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam - Vol.
No.
2 Oktober 2023 p-ISSN: 2828-9382.
e-ISSN: 2828-9390.
Hal 311-326 Gambar 15: Posisi dan Salah Satu Himpunan Kritis Graf Bintang ya1,5 .
= 2ycu .
Gambar 16: Hasil Pelabelan Himpunan Kritis Graf Bintang ya1,5 .
= 2ycu .
Gambar 16 adalah hasil pelabelan dari Gambar 15.
Himpunan kritis Graf Bintang ya1,5 .
= 2ycu .
pada gambar 15.
menghasilkan sebuah pelabelan ajaib.
Setiap Q hanya dapat membangun .
atu pelabelan ajai.
A pada K1,5.
Setiap subset dari Q dapat membangun lebih dari satu .
Dengan demikian maka kelima himpunan tersebut merupakan himpunan kritis.
Apabila label sisi daun yang pada .
,7,8,9,.
label dilakukan penukaran posisi ataupun penukaran nilai label maka himpunan akan tetap menghasilkan himpunan kritis.
Dari kejadian diatas dapat menimpulkan kondisi Dimana Kelima label yang ada dapat menempati 4 posisi label dengan syarat satu label hanya dapat diletakkan di satu Posisi.
Dengan demikian untuk menentukan jumlah himpunan kritis dapat digunakan rumus permutasi sebagai berikut:
yaycycoycoycaEa Eaycnycoycyycycuycaycu ycoycycnycycnyc = ycE.
cu, y.
= ycE.
ycu! = .
cuOey.
! = .
Oe.
! = 120 Maka diperoleh untuk jumlah himpunan kritis yang memungkinkan dari graf bintang ya1,5 adalah sebanyak 120 himpunan kritis.
Himpunan Kritis pada Graf Bintang
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan Berdasarkan pemaparan diatas, diperoleh beberapa kesimpulan yaitu Label simpul pusat untuk pelabelan total sisi ajaib graf bintang ialah simpul pusat 1, simpul pusat n 1, dan simpul pusat 2n 1.
Pada simpul pusat 1 bilangan ajaibnya yakni k = 2n 4.
Pada simpul pusat n 1 bilangan ajaibnya yakni k = 3n 3.
Pada simpul pusat 2n 1, bilangan ajaibnya yakni k = 4n 2.
Setelah dilakukan Penentuan Himpunan kritis pada graf K1,5 dengan masing- masing simpul pusat 1, simpul pusat n 1, dan simpul pusat 2n 1 diperoleh sebanyak 120 himpunan Pada simpul pusat 1 diperoleh bilangan ajaib k = 14.
Pada simpul pusat n 1 diperoleh bilangan ajaib k = 18.
Pada simpul pusat 2n 1 diperoleh bilangan ajaib k = 22.
Saran