JRMM Ae Jurnal Riset Mahasiswa Matematika.
Volume 5 .
Pages 218-227 Research Article Teorema Hahn-Banach untuk Fungsional Linier Terbatas Rahmadita Widya Astuti 1 .
Dian Maharani 1 , and Abdul Aziz 1 Program Studi Matematika.
Fakultas Sains dan Teknologi.
Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim.
Malang.
Indonesia Article History Received 23 Juni 2025 Revised 01 Januari 2026 Accepted 26 Februari 2026 Published 28 Februari 2026 Copyright A 2026 by Authors.
Published by JRMM Group.
This is an open access article under the CC BY-SA License.
Abstract.
A linear functional f is a mapping from a vector space X to a field K, (R or C), that satisfies two properties, additivity and homogeneity.
Among the various properties of linear functionals, one important property is boundedness.
This research is to prove the boundedness property of linear functionals using the Hahn-Banach Theorem.
The HahnBanach Theorem addresses the extension of linear functionals.
Thus, the results of this research show that with the Hahn-Banach Theorem, every element x0 = 0 in a normed space can be associated with a bounded linear functional fu such that fu.
0 ) = 1 and OufuOu = Oux0 OuOe1 .
Furthermore, a linear functional defined on a real vector space can be extended to a complex vector space using the structure fu.
= fu1 .
Oe ifu1 .
, and it is proven that this extension satisfies fu.
= ifu.
This research is expected to be beneficial and serve as an additional Keywords: Hahn-Banach Theorem.
Linear Functional.
Bounded Linear Functional Abstrak.
Fungsional linier f merupakan pemetaan dari suatu ruang vektor X ke lapangan K, baik R atau C, yang memenuhi dua sifat yakni aditivitas dan homogenitas.
Adapun beberapa sifat lain dari fungsional linier, salah satunya yaitu sifat terbatas.
Penelitian ini memiliki tujuan untuk membuktikan sifat fungsional linier terbatas menggunakan Teorema HahnBanach.
Teorema Hahn-Banach merupakan teorema yang membahas mengenai perluasan fungsional linier.
Dengan demikian, hasil penelitian ini telah menunjukkan bahwa dengan Teorema Hahn-Banach setiap elemen x0 = 0 pada ruang bernorma dapat dihubungkan dengan suatu fungsional linier terbatas fu yang memenuhi fu.
0 ) = 1 dan OufuOu = Oux0 OuOe1 .
Kemudian fungsional linier yang didefinisikan dari fungsional riil dapat diperluas ke ruang vektor kompleks dengan struktur fu.
= fu1 .
Oeifu1 .
dan terbukti memenuhi fu.
= ifu.
Penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat dan dapat menjadi referensi tambahan.
Kata kunci: Teorema Hahn-Banach.
Fungsional Linier.
fungsional linier terbatas.
Pendahuluan Dalam matematika, setiap fungsi memiliki domain dan kodomain .
Jika suatu fungsi memiliki domain berupa ruang vektor X atas lapangan K, dan fungsi tersebut memetakan elemen dari X ke ruang vektor lain yang juga berada di atas lapangan K, dengan memenuhi syarat-syarat tertentu, maka fungsi tersebut disebut operator linier .
Adapun jika range dari operator linier tersebut adalah K baik (R atau C), maka operator tersebut disebut fungsional linier .
Fungsional linier merupakan pemetaan linier dari suatu ruang vektor X ke lapangan K (R atau C) dengan memenuhi dua sifat, yaitu f .
= f .
untuk semua x dan y di ruang vektor X, dan f .
= f .
untuk semua OO R .
tau C) dan x OO X .
Beberapa fungsional linier memiliki sifat keterbatasan dan kekontinuan.
Fungsional linier f dikatakan terbatas apabila terdapat suatu konstanta bilangan riil C > 0 sedemikian sehingga .
| O COuxOu untuk semua x dalam ruang vektor X .
Fungsional linier f dalam ruang vektor bernorma dikatakan kontinu jika dan hanya jika f terbatas .
Sifat kontinu sangat penting dalam pembuktian teorema-teorema, seperti pada Teorema Hahn-Banach.
Salah satu topik bahasan terkait Teorema Hahn-Banach yaitu ruang dual.
Dalam teori ruang dual.
Teorema HahnBanach memastikan bahwa setiap fungsional linier kontinu yang didefinisikan pada subruang Y dari ruang norma X dapat diperluas ke seluruh X tanpa mengubah sifat linieritas dan kontinuitasnya.
Pada ruang dual X O , setiap elemen f disebut sebagai fungsional linier yang memenuhi kondisi tertentu, yaitu bersifat linier, kontinu, dan memenuhi batas .
| O COuxOu.
Contohnya, pada ruang Ee2 , seperti PO f .
= n=1 an xn dengan .
n ) OO Ee , merupakan elemen ruang dual yang memenuhi kondisi tersebut.
Kondisi ini juga digunakan dalam banyak aspek, salah satunya dalam pembuktian Teorema Representasi Riesz .
Dalam Teorema Representasi Riesz, khususnya untuk ruang Hilbert, setiap fungsional linier terbatas pada ruang Hilbert H dapat direpresentasikan sebagai hasil kali dalam dua vektor, yaitu:
= x, y untuk semua x OO H di mana y OO H .
Adapun beberapa penelitian terdahulu telah membahas penerapan Teorema Hahn-Banach dalam berbagai konteks.
Misalnya, penelitian oleh Zedam .
membahas penerapan Teorema Hahn-Banach dalam konteks fungsional linier terbatas fuzzy.
Dalam penelitian ini.
Zedam membahas perluasan Teorema Hahn-Banach ke ruang bernorma linier fuzzy dan memberikan bukti bahwa jika f adalah fungsional linier terbatas fuzzy pada subruang tertutup tertentu, maka terdapat perluasan linier dari f ke seluruh ruang yang tetap terbatas dan mempertahankan nilai-nilai yang ditentukan pada subruang tersebut .
Penelitian lainnya oleh Kebiche dan Giordano .
membahas penerapan Teorema Hahn-Banach dalam konteks ruang Colombeau, yang merupakan salah satu pendekatan dalam teori fungsi tergeneralisasi.
Penelitian ini berfokus pada perluasan fungsional linier dalam ruang yang bersifat nonlinier dengan mempertimbangkan struktur-wise.
Selain itu, penelitian ini juga menunjukkan aplikasi Teorema Hahn-Banach dalam pemisahan himpunan cembung dalam ruang Colombeau .
Teorema Hahn-Banach adalah teorema perluasan untuk fungsional linier .
Teorema Hahn-Banach juga dapat digunakan dalam pembuktian sifat-sifat fungsional linier terbatas.
Fungsional linier terbatas awalnya hanya terdefinisi pada sub- Corresponding authorAos email: dian.
maharani@mat.
uin-malang.
DOI: https://doi.
org/10.
18860/JRMM.
34722 / p-ISSN: 2086-0382 | e-ISSN: 2477-3344 (BRIN | ISSN Porta.
Rahmadita Widya Astuti Ae Teorema Hahn-Banach untuk Fungsional Linier Terbatas ruang tertentu dari ruang bernorma .
Pada penelitian ini akan dijelaskan mengenai cara untuk memperluas fungsional linier terbatas menggunakan Teorema Hahn-Banach.
Konsep Dasar Definisi 1 Ruang vektor atas lapangan K adalah himpunan tak kosong X yang dilengkapi oleh dua operasi, yakni penjumlahan X y X Ie X yang dinotasikan sebagai x y, dan perkalian skalar K y X Ie X yang dinotasikan sebagai x, yang memenuhi delapan aksioma sebagai berikut untuk semua x, y, z OO X dan .
OO K.
(V.
x y = y x (V.
= .
z (V.
Terdapat bilangan tunggal 0 OO X, sedemikian sehingga x 0 = x (V.
Terdapat bilangan tunggal Oex OO X, sedemikian sehingga x (Oe.
= 0 (V.
1x = x (V.
= ()x (V.
= x y (V.
( )x = x x Ruang vektor riil adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua operasi, yaitu penjumlahan vektor V y V Ie V, dan perkalian skalar R y X Ie X, yang memenuhi delapan aksioma ruang vektor dengan skalar diambil dari R.
Maka X disebut ruang vektor riil .
Definisi 4 Misalkan domain D.
) dari f adalah ruang vektor dengan lapangan K .
aik R maupun C) dan f adalah fungsional linier yang memetakan f : D.
) Ie R atau f : D.
) Ie C dengan memenuhi dua sifat berikut .
(F.
Aditivitas, untuk semua x, y OO D.
), f .
= f .
(F.
Homogenitas, untuk semua x OO D.
) dan skalar = f .
Definisi 5 Fungsional linier f adalah operator linier dengan domain D.
) dalam ruang vektor X dan range dalam lapangan skalar K dari ruang vektor X, sehingga f : D.
) Ie K di mana K = R jika X adalah ruang vektor real, dan K = C jika X adalah ruang vektor kompleks .
Definisi 6 Misalkan X dan Y adalah ruang bernorma dan T :
D(T ) Ie Y adalah operator linier, di mana D(T ) OI X .
Operator T dikatakan terbatas jika terdapat bilangan riil C sedemikian sehingga untuk semua x OO
D(T ),
OuT xOu O COuxOu.
Definisi 7 Definisi 2 Misalkan X adalah ruang vektor atas F , baik R maupun Norma dari X adalah fungsi OuAOu : X Ie R sedemikian sehingga untuk semua x, y OO X dan OO F berlaku:
(N.
OuxOu Ou 0 (N.
OuxOu = 0 jika dan hanya jika x = 0 (N.
OuxOu = ||OuxOu (N.
Oux yOu O OuxOu OuyOu.
Ruang vektor X yang memiliki norma disebut ruang bernorma atau ruang vektor bernorma .
Definisi 3 Operator linier T adalah operator yang memiliki domain D(T ) dari T berupa ruang vektor dan range T terletak pada ruang vektor atas lapangan yang sama .
Untuk semua x, y OO D(T ) dan skalar .
T .
= T x T y T .
= T x JRMM Ae Jurnal Riset Mahasiswa Matematika Fungsional linier terbatas f adalah operator linier terbatas dengan range dalam lapangan skalar R .
tau C) dari ruang bernorma X, di mana domain D.
) berada .
Fungsional linier f dikatakan terbatas jika terdapat konstanta bilangan riil C > 0 sehingga untuk semua x OO D.
), .
| O COuxOu.
Definisi 8 Misalkan f : A Ie R, dengan A OI R.
Fungsi f dikatakan kontinu di titik c OO A, jika untuk setiap A > 0, terdapat > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x OO A dengan .
Oe .
< , berlaku .
Oe f .
| < A.
Fungsi f dikatakan kontinu di A apabila f kontinu di setiap titik dalam domain A .
Volume .
Issued .
Year 2026 Rahmadita Widya Astuti Ae Teorema Hahn-Banach untuk Fungsional Linier Terbatas Definisi 9 Misalkan f : D.
) Ie Y adalah sebarang operator yang belum tentu linier, di mana D.
) OI X dan X.
Y adalah ruang bernorma .
Fungsional f dikatakan kontinu pada x0 OO D.
) jika untuk setiap A > 0 terdapat > 0 sedemikian sehingga Ouf .
Oe f .
0 )Ou < A.
OAx OO D.
Oux Oe x0 Ou < .
i dari E.
Misalkan E adalah himpunan semua perluasan linier g dari f yang memenuhi kondisi g.
O p.
, untuk semua x OO D.
Jelas bahwa.
E = OI karena f OO E.
Pada E, dapat mendefinisikan pengurutan parsial dengan g O h.
Artinya bahwa h adalah perluasan dari g.
Secara definisi.
OE D.
dan h.
= g.
untuk setiap x OO D.
Untuk setiap rantai C OC E, maka gC didefinisikan sebagai, gC.
= g.
Definisi 10 Misalkan X adalah ruang vektor riil dan p adalah fungsional sublinier.
Fungsi p : X Ie R disebut fungsional sublinier jika memenuhi dua sifat berikut .
Untuk semua Ou 0 dan x OO X, berlaku:
= p.
Untuk semua x, y OO X, berlaku:
O p.
Fungsional sublinier memiliki keterkaitan pada fungsional Dalam bentuk umum Teorema Hahn-Banach, di mana fungsional linier terbatas dapat diperluas ke seluruh ruang tanpa melampaui nilai dari fungsional sublinier yang membatasi .
Definisi 11 Ruang dual X O dari suatu ruang vektor X adalah himpunan semua fungsional linier dari X ke F, baik (R atau C) .
Misalkan X adalah ruang bernorma, maka himpunan semua fungsional linier terbatas dari X ke F baik (R atau C) merupakan ruang dual yang dilambangkan dengan X O .
Definisi 12 Misalkan X adalah ruang vektor riil, p adalah fungsional sublinier, dan Z adalah subruang dari X.
Misalkan f adalah fungsional linier yang didefinisikan pada subruang Z dan memenuhi f .
O p.
OAx OO Z.
Maka f memiliki perluasan linier fu dari Z ke X yang fu.
O p.
OAx OO X, yaitu fu adalah fungsional linier pada X dan fu.
= f .
untuk setiap x OO Z .
Bukti Keberadaan Perluasan Linier Maksimal.
Akan dibuktikan, himpunan E yaitu himpunan semua perluasan linier g dari f yang memenuhi g.
O p.
pada domainnya D.
dan lema Zorn menghasilkan elemen maksimal JRMM Ae Jurnal Riset Mahasiswa Matematika jika x OO D.
dan g OO C.
gC adalah fungsional linier yang domainnya didefinisikan D.
C) = D.
gOOC Domain ini merupakan ruang vektor karena C adalah Untuk x OO D.
1 ) O D.
2 ) dengan g1 , g2 OO C, maka g1 .
= g2 .
karena C adalah rantai, sehingga g1 O g2 atau g2 O g1 .
Jelas bahwa, g O gC untuk semua g OO C.
Dengan demikian, gC adalah batas atas dari C.
Karena C OC E bersifat sebarang, lema Zorn menyatakan bahwa E memiliki elemen maksimal fu.
Berdasarkan definisi E, elemen ini adalah perluasan linier dari f yang memenuhi syarat fu.
O p.
, untuk x OO D.
f terdefinisi pada seluruh ruang X.
Akan ditunjukkan bahwa D.
mencakup seluruh X.
Misalkan hal ini salah, maka dipilih y1 OO X Oe D.
dan mempertimbangkan subruang Y1 dari X yang direntangkan oleh D.
dan y1 .
Perhatikan bahwa y1 = 0 karena 0 OO D.
Setiap x OO Y1 dapat ditulis, x = y y1 , untuk y OO D.
Jika y y1 = yE y1 dengan yE OO D.
, maka hal ini mengimplikasikan y Oe yE = ( Oe )y1 , di mana y Oe yE OO D.
sedangkan y1 OO / D.
Oleh karena itu, satu-satunya solusi adalah y Oe yE = 0 dan Oe = 0, hal ini telah membuktikan keunikan.
Fungsional g1 di Y1 didefinisikan, g1 .
y1 ) = fu.
c di mana c adalah konstanta riil sebarang dan g1 linier.
Selain itu, untuk = 0 maka g1 .
= fu.
Dengan demikian, g1 adalah perluasan yang tepat dari fu, yaitu perluasan di mana D.
adalah himpunan bagian yang tepat dari D.
1 ).
Akibatnya, jika membuktikan bahwa g1 OO E dengan menunjukkan bahwa, g1 .
O p.
untuk semua x OO D.
1 ).
Ini akan bertentangan dengan sifat maksimal dari fu, sehingga pernyataan D.
= X adalah salah dan D.
= X adalah benar.
Relasi tambahan.
Akan ditunjukkan bahwa g1 dengan nilai c yang sesuai dalam g1 .
y1 ) = fu.
c, di mana c adalah konstanta riil sebarang dan g1 linier yang memenuhi g1 .
O p.
untuk semua x OO D.
1 ).
Volume .
Issued .
Year 2026 Rahmadita Widya Astuti Ae Teorema Hahn-Banach untuk Fungsional Linier Terbatas Perhatikan bahwa, sebarang y dan z dalam D.
Dari persamaan fu.
O p.
, untuk x OO D.
dan p.
O p.
, untuk semua x, y OO X diperoleh, dengan y diganti Oe1 y untuk memperoleh, c O p( 1 y y1 ) Oe fu( 1 .
Dikalikan dengan > 0 diperoleh, fu.
Oe fu.
= fu.
Oe .
O p.
Oe .
= p.
y1 Oe y1 Oe .
O p.
y1 ) p(Oey Oe .
kemudian memindahkan suku terakhir ke kiri dan suku fu.
ke kanan, sehingga, c O p( 1 y y1 ) Oe fu.
= p.
Oe fu.
Dari c O p.
Oe fu.
y1 ) = fu.
Oep(Oey1 Oe .
Oe fu.
O p.
y1 ) Oe fu.
, di mana y1 tetap.
Karena y tidak muncul di sisi kiri dan z tidak muncul di sisi kanan, ketaksamaan ini tetap berlaku jika mengambil supremum atas z OO D.
di sisi kiri .
isebut m0 ) dan infimum atas y OO D.
di sisi kanan .
isebut m1 ).
Kemudian m0 O m1 dan untuk suatu c dengan m0 O c O m1 dari Oep(Oey1 Oe .
Oe fu.
O p.
y1 ) Oe fu.
, di mana y1 tetap, diperoleh.
Oep(Oey1 Oe .
Oe fu.
O c, g1 .
= fu.
c O p.
Teorema 1 Misalkan X adalah ruang vektor riil atau kompleks, dan p adalah fungsional bernilai riil pada X yang bersifat subaditif, yaitu untuk semua x, y OO X berlaku .
O p.
OAz OO D.
dan untuk setiap skalar berlaku c O p.
y1 ) Oe fu.
OAy OO D.
Akan dibuktikan g1 .
O p.
untuk semua x OO D.
1 ) terlebih dahulu untuk negatif dalam g1 .
y1 ) = fu.
c, di mana c adalah konstanta riil sebarang dan g1 linier, lalu untuk positif.
Untuk < 0 menggunakan persamaan Oep(Oey1 Oe .
Oe fu.
O c, untuk semua z OO D.
, mengganti z dengan Oe1 y, yaitu, p.
= || p.
Misalkan f adalah fungsional linier yang didefinisikan pada subruang Z dari X dan memenuhi .
| O p.
OAx OO Z.
Maka f memiliki perluasan linier fu dari Z ke X yang .
| O p.
OAx OO X.
Oep(Oey1 Oe 1 .
Oe fu( 1 .
O c.
Kemudian dikalikan dengan Oe > 0, diperoleh, p(Oey1 Oe 1 .
O Oec.
Dari p(Oey1 Oe 1 .
O Oec Bukti Ruang vektor riil.
Jika X adalah ruang vektor riil, kemudian .
| O p.
untuk semua x OO Z mengimplikasikan f .
O p.
untuk semua x OO Z.
Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 5, terdapat perluasan linier fu dari Z ke X sehingga, g1 .
y1 ) = fu.
c, fu.
O p.
dengan menggunakan y y1 = x diperoleh ketaksamaan yang diinginkan.
Dari hasil tersebut, p.
= || p.
diperoleh, g1 .
= fu.
c O Oep(Oey1 Oe 1 .
= p.
= p.
Untuk = 0 maka x OO D.
dan tidak ada yang perlu Untuk > 0 menggunakan c O p.
y1 ) Oe fu.
OAy OO D.
JRMM Ae Jurnal Riset Mahasiswa Matematika OAx OO X.
Oefu.
= fu(Oe.
O p(Oe.
= .
= p.
, yang berarti, fu.
Ou Oep.
Bersama dengan fu.
O p.
untuk semua x OO X, hal ini membuktikan bahwa .
| O p.
untuk semua x OO X.
Volume .
Issued .
Year 2026 Rahmadita Widya Astuti Ae Teorema Hahn-Banach untuk Fungsional Linier Terbatas Bukti Ruang vektor kompleks.
Misalkan X adalah ruang vektor kompleks.
Maka Z juga merupakan ruang vektor Oleh karena itu, f bernilai kompleks dan dapat ditulis, f .
= f1 .
, f1 .
O p.
OAx OO Zr .
Dengan menggunakan Teorema Hahn-Banach 2.
12, terdapat perluasan linier fu1 dari f1 dari Zr ke Xr , sehingga fu1 .
O p.
Jika x sedemikian rupa sehingga fu.
= 0, maka dapat ditulis menggunakan bentuk polar dari bilangan fu.
= .
i , sehingga .
| = fu.
eOei = fu.
Oei .
x OO Z, di mana f1 dan f2 bernilai riil.
Untuk sementara, lihat X dan Z sebagai ruang vektor riil dan dinotasikan dengan Xr dan Zr .
Artinya, membatasi perkalian skalar hanya pada bilangan riil .
ukan komplek.
Karena f linier pada Z, serta f1 dan f2 adalah bernilai riil, maka f1 dan f2 adalah fungsional linier pada Zr .
Selain itu, f1 .
O .
| karena bagian riil dari sebuah bilangan kompleks tidak pernah melebihi nilai Oleh karena itu, berdasarkan .
| O p.
untuk semua x OO Z.
OAx OO Xr .
Karena .
| adalah bilangan riil, ekspresi terakhir juga riil dan sama dengan bagian riilnya.
Oleh karena itu, berdasarkan sifat p.
= |.
, .
| = fu.
Oei .
= fu1 .
Oei .
O p.
Oei .
= .
Oei .
= p.
Teorema 2 Misalkan f adalah fungsional linier terbatas pada suatu subruang Z dari ruang bernorma X.
Maka terdapat fungsional linier terbatas fu pada X yang merupakan perluasan dari f ke X dan memiliki norma yang sama, yaitu .
OufuOuX = Ouf OuZ .
Kemudian untuk f2 , kembali ke Z dan menggunakan f = f1 if2 , maka untuk setiap x OO Z, di mana i.
] = if .
= f1 .
OufuOuX = .
| xOOX, x=0 OuxOu Ouf OuZ = .
| xOOZ, x=0 OuxOu Bagian asli di kedua sisi harus sama:
= Oef1 .
, x OO Z.
Jika untuk semua x OO X ditetapkan, fu.
= fu1 .
Oe ifu1 .
, x OO X.
Dilihat dari sifat f2 .
= Oef1 .
untuk x OO Z, bahwa fu.
= f .
pada Z.
Hal ini menunjukkan bahwa fu adalah perluasan dari f dari Z ke X.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa fu adalah fungsional linier pada ruang vektor kompleks X, dan fu memenuhi .
| O p.
pada Perhatikan bahwa, fu.
= fu1 .
Oe ifu1 .
untuk x OO X, dan sifat linier dari fu1 pada ruang vektor riil Xr .
sini a ib dengan a dan b bilangan riil adalah sebarang skalar kompleks:
= fu1 .
x ib.
Oe ifu1 .
ax Oe b.
= afu1 .
Oe i.
Oe bfu1 .
] = .
Oe ifu1 .
] = .
Kemudian akan dibuktikan fu memenuhi .
| O p.
pada X.
Untuk sebarang x sehingga fu.
= 0, ini berlaku karena p.
Ou 0 dengan sifat p.
O p.
untuk semua x, y OO X dan p.
= |.
Bukti Jika Z = .
, maka f = 0, dan perluasannya adalah fu = Misalkan Z = .
Akan dibuktikan menggunakan Teorema 1, oleh karena itu terlebih dahulu menemukan fungsi p yang sesuai.
Untuk semua x OO Z, maka .
| O Ouf OuZ OuxOu.
Hal ini berbentuk seperti .
| O p.
, untuk semua x OO Z, di mana p.
= Ouf OuZ OuxOu.
Perhatikan bahwa p didefinisikan pada seluruh X.
Selain itu, p memenuhi sifat p.
O p.
untuk semua x, y OO X, karena dengan ketaksamaan segitiga, p.
= Ouf OuZ Oux yOu O Ouf OuZ (OuxOu OuyO.
= p.
Fungsi p juga memenuhi sifat p.
= || p.
pada X, p.
= Ouf OuZ OuxOu = || Ouf OuZ OuxOu = || p.
Dengan demikian.
Teorema 1 dapat diterapkan dan menyimpulkan bahwa ada fungsional linier fu pada X yang merupakan perluasan dari f dan memenuhi, .
| O p.
= Ouf OuZ OuxOu.
JRMM Ae Jurnal Riset Mahasiswa Matematika OAx OO X.
Volume .
Issued .
Year 2026 Rahmadita Widya Astuti Ae Teorema Hahn-Banach untuk Fungsional Linier Terbatas Dengan mengambil supremum untuk semua x OO X dengan OuxOu = 1, diperoleh ketaksamaan:
OufuOuX = sup .
| O Ouf OuZ .
xOOX OuxOu=1 Karena norma tidak dapat berkurang dalam perluasan, maka terdapat OufuOuX Ou Ouf OuZ .
Dengan demikian, diperoleh sifat OufuOuX = Ouf OuZ , dan menentukan tujuan serta manfaat dari penelitian ini.
Berikut tahapan-tahapan penelitian kualitatif:
Memahami dan mengkaji jurnal atau buku referensi Mencari sumber atau referensi lain yang relevan dengan Membuktikan fungsional linier terbatas menggunakan Teorema Hahn-Banach.
Hasil dan Pembahasan dan Teorema terbukti.
Pada bagian ini akan dibuktikan mengenai sifat-sifat fungsional linier terbatas menggunakan Teorema Hahn-Banach.
Teorema 3 Misalkan X adalah ruang bernorma dan x0 = 0 adalah suatu elemen dari X.
Maka terdapat fungsional linier terbatas fu pada X, sehingga .
OufuOu = 1 fu.
0 ) = Oux0 Ou.
Bukti Subruang Z dari X, yang memuat semua elemen x = x0 di mana adalah sebuah skalar.
Pada Z didefinisikan sebuah fungsional linier f dengan f .
= f .
0 ) = Oux0 Ou.
Fungsional f terbatas dan memiliki norma Ouf Ou = 1 Sifat-Sifat Fungsional Linier Terbatas Dalam Teorema Hahn-Banach, fungsional linier selain terdefinisi dalam ruang vektor atas lapangan bilangan riil, juga dapat terdefinisi pada ruang vektor atas lapangan bilangan kompleks .
Misalkan X adalah ruang vektor kompleks, sehingga Z OI X juga merupakan ruang vektor kompleks.
Oleh karena itu, f adalah fungsional linier bernilai kompleks yang didefinisikan sebagai f .
= f1 .
, di mana f1 dan f2 bernilai riil.
Kemudian, dengan menggunakan f = f1 if2 , untuk setiap x OO Z, diperoleh i.
] = if .
= f .
= f1 .
Sehingga, .
| = .
0 )| = ||Oux0 Ou = Oux0 Ou = OuxOu.
Teorema 2 mengimplikasikan bahwa f memiliki perluasan linier fu dari Z ke X, dengan norma OufuOu = Ouf Ou = 1.
Dari definisi f dalam f .
= f .
0 ) = Oux0 Ou, dapat dilihat bahwa fu.
0 ) = f .
0 ) = Oux0 Ou.
Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif yaitu menggunakan metode tinjauan literatur, yang bertujuan untuk memahami secara mendalam dan menafsirkan konsep serta fenomena yang diteliti.
Dalam penelitian kualitatif, salah satu teknik yang sering digunakan adalah studi pustaka.
Studi pustaka melibatkan pengumpulan data melalui pembacaan dan analisis sumber-sumber tertulis, seperti buku, jurnal, artikel ilmiah, dan sumber tertulis lainnya.
Studi ini dilaksanakan dengan melakukan pengumpulan data yang relevan dengan topik yang sedang diteliti, yakni melalui buku, jurnal, dan artikel.
Dalam penelitian ini, peneliti memanfaatkan sejumlah referensi untuk menentukan Kemudian, menentukan menentukan rumusan masalah JRMM Ae Jurnal Riset Mahasiswa Matematika f2 .
= Oef1 .
, x OO Z, dan apabila untuk semua x OO X ditetapkan, fu.
= fu1 .
Oe ifu1 .
Proposition 1 Misalkan X adalah ruang vektor kompleks, dan fu adalah suatu fungsional linier pada X, jika untuk semua x OO X, didefinisikan .
maka berlaku Metode untuk setiap x OO Z, fu.
= fu1 .
Oe ifu1 .
, .
= ifu.
Bukti Akan ditunjukkan fu adalah fungsional linier pada X.
Berdasarkan sifat .
untuk setiap x, y OO X, maka fu.
= fu1 .
Oe ifu1 .
) = fu1 .
Oe i.
) = .
Oe ifu1 .
) .
Oe ifu1 .
) = fu.
Dengan demikian, fu memenuhi sifat aditivitas.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa fu memenuhi sifat ho- Volume .
Issued .
Year 2026 Rahmadita Widya Astuti Ae Teorema Hahn-Banach untuk Fungsional Linier Terbatas mogenitas, yaitu:
Misalkan OO C, x OO X, dan = a ib dengan a, b OO R, fu.
= fu1 .
Oe ifu1 .
= fu1 (.
Oe ifu1 .
= fu1 .
Oe i.
Oe bfu1 .
] = .
) Oe i.
Oe bfu1 .
) = .
) Oe .
Oe iafu1 .
) = .
Oe i.
= .
Oe ifu1 .
) = fu.
Dengan demikian, fu juga memenuhi sifat homogenitas.
Karena sifat aditivitas dan homogenitas terpenuhi, maka fu adalah fungsional linier.
Akan ditunjukkan fu.
= ifu.
= fu1 .
Oe ifu1 .
) = fu1 .
Oe ifu1 (Oe.
= fu1 .
(N.
OuxOu Ou 0 Misalkan x = x0 OO Z maka.
OuxOu = || A Oux0 Ou Ou 0 Karena || Ou 0 dan Oux0 Ou > 0 .
ebab x0 = .
maka OuxOu Ou 0.
Syarat (N.
(N.
OuxOu = 0 Ni x = 0 Jika OuxOu = 0, maka || A Oux0 Ou = 0 Karena Oux0 Ou > 0, ini berakibat || = 0, sehingga = 0 dan x = x0 = 0.
Jika x = 0, maka OuxOu = .
A Oux0 Ou = 0 Syarat (N.
(N.
OuxOu = || A OuxOu Misalkan x = x0 dan x = x0 = ()x0 , maka OuxOu = || A Oux0 Ou = || A || A Oux0 Ou = || A OuxOu Syarat (N.
(N.
Oux yOu O OuxOu OuyOu Misalkan x = x0 , y = x0 , x y = ( )x0 .
Oux yOu = | | A Oux0 Ou.
Oux yOu O (|| ||) A Oux0 Ou = OuxOu OuyOu ifu.
= i.
Oe ifu1 .
) = ifu1 .
Maka, fu.
= fu1 .
= ifu.
Syarat (N.
Karena syarat (N.
sampai (N.
terpenuhi, maka fungsi OuxOu = || A Oux0 Ou, untuk x = x0 OO Z, adalah norma pada ruang Z.
Untuk sebarang x, y OO Z dan skalar OO K, akan diperiksa f bersifat linier.
Ambil sebarang x = ax0 OO Z dan y = bx0 OO Z, f .
= f (.
x0 ) Proposition 2 = f .
x0 ) f .
x0 ) = f .
Misalkan X adalah ruang bernorma, dan misalkan x0 OO X dengan x0 = 0.
Berdasarkan asumsi Teorema 2.
maka terdapat fungsional linier terbatas fu : X Ie K, dengan K = R atau C sedemikian sehingga .
OufuOu = Oux0 OuOe1 Dengan demikian, f memenuhi sifat aditivitas.
Ambil sebarang x = bx0 OO Z dan OO K, maka f .
= f (.
x0 ) = f .
x0 ) = f .
Dengan demikian, f memenuhi sifat homogenitas.
0 ) = 1 Karena f memenuhi sifat aditivitas dan homogenitas, maka f adalah fungsional linier.
Bukti Misalkan diambil subruang Z OC X dengan Z = .
0 | OO K}.
K = R atau C.
Kemudian didefinisikan fungsional linier f pada Z dengan.
Akan ditunjukkan bahwa f adalah fungsional linier Berdasarkan definisi, fungsional linier f dikatakan terbatas apabila terdapat suatu konstanta bilangan riil C > 0 sedemikian sehingga .
| O COuxOu, untuk semua x OO Z.
Misalkan x = x0 OO Z, f .
= dan OuxOu = || A Oux0 Ou maka .
| = || dan f .
= f .
0 ) = Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa Z = .
0 | OO K} adalah ruang bernorma.
Untuk setiap x, y OO Z dan OO K berlaku:
JRMM Ae Jurnal Riset Mahasiswa Matematika
|| =
OuxOu Oux0 Ou kemudian disubstitusikan sehingga.
Volume .
Issued .
Year 2026 Rahmadita Widya Astuti Ae Teorema Hahn-Banach untuk Fungsional Linier Terbatas .
| = || = OuxOu A OuxOu Oux0 Ou Oux0 Ou Dengan demikian.
Ouf .
Oe f .
0 )Ou = Ouf .
Oe x0 )Ou = f OuyOu Ouf .
Ou.
OuyOu .
| O A OuxOu Oux0 Ou Dengan demikian, terbukti bahwa f adalah fungsional linier terbatas dengan C = Oux10 Ou .
Akan ditunjukkan bahwa OufuOu = Oux0 OuOe1 dan fu.
0 ) = 1 Ambil x = x0 , f .
= , dan OuxOu = || A Oux0 Ou.
Maka berdasarkan definisi fungsional linier terbatas, norma dari f didefinisikan sebagai, .
| || = Oux0 OuOe1 Ouf Ou = sup || A Oux0 Ou Oux0 Ou xOOZ OuxOu Sehingga.
Ouf .
Ou O A.
OuyOu Dengan demikian.
Ouf .
Ou O x=0 Berdasarkan Teorema Hahn-Banach 2.
15, setiap fungsional linier terbatas f yang didefinisikan pada subruang Z OC X dapat diperluas menjadi fungsional linier terbatas fu : X Ie K dengan OufuOu = Ouf Ou = Oux10 Ou .
Karena fu memperluas f dan f .
0 ) = 1, maka fu.
0 ) = f .
0 ) = 1.
OuyOu.
y dapat ditulis Ouf .
Ou O COuyOu.
Jadi, f terbatas dengan konstanta C = A/.
Dari pembuktian dua sisi tersebut, maka telah terbukti bahwa fungsional linier f kontinu jika dan hanya jika f Fungsional Sublinier pada Fungsional Linier Proposition 3 Kekontinuan dan Keterbatasan Fungsional Linier Teorema 4 Misalkan f : D.
) Ie K .
engan K = R atau C) adalah fungsional linier, di mana D.
) merupakan domain dari ruang bernorma X.
Maka f bersifat kontinu jika dan hanya jika f terbatas, yaitu terdapat konstanta bilangan riil C > 0 sehingga .
| O COuxOu.
OAx OO D.
Bukti (N.
Akan dibuktikan jika f terbatas, maka f kontinu.
Misalkan f = 0, diasumsikan f adalah fungsional linier terbatas dan ambil sebarang x0 OO D.
Misalkan diberikan sebarang A > 0, maka untuk setiap x OO D.
) dengan Oux Oe x0 Ou < , di mana = A/C berlaku.
Ouf .
Oe f .
0 )Ou = Ouf .
Oe x0 )Ou O COux Oe x0 Ou < C A = A.
Karena x0 OO D.
) dipilih sebarang, maka f kontinu.
(N.
Akan dibuktikan jika f kontinu, maka f terbatas.
Diambil sebarang y OO D.
) dengan y = 0, karena f kontinu di sebarang titik x0 OO D.
) maka untuk setiap A > 0, terdapat > 0 sedemikian sehingga, untuk x OO D.
) dengan x = x0 OuyOu maka Ouf .
Oe f .
0 )Ou O A, untuk semua x OO D.
) berlaku Oux Oe x0 Ou O .
JRMM Ae Jurnal Riset Mahasiswa Matematika Misalkan p fungsional bernilai riil pada ruang vektor X yang bersifat subaditif dan untuk semua x, y OO X memenuhi sifat-sifat berikut.
O p.
Untuk setiap skalar memenuhi, p.
= || p.
Sehingga untuk setiap x0 OO X, terdapat sebuah fungsional linier fu pada X sedemikian sehingga untuk semua x OO X, fu.
0 ) = p.
0 ) .
| O p.
untuk semua x OO X.
Bukti Misalkan Z = .
0 | OO R} adalah subruang dari X.
f0 didefinisikan sebagai f0 : Z Ie R sehingga, f0 .
0 ) := p.
0 ), untuk setiap OO R.
Akan ditunjukkan bahwa f0 .
0 ) O p.
0 ) untuk semua x OO Z.
Misalkan x = x0 OO Z, maka f0 .
= p.
0 ) dan p.
= p.
0 ) = |.
0 ).
Karena p adalah homogen positif, maka:
A Jika Ou 0, maka f0 .
= p.
0 ) = |.
0 ) = p.
A Jika < 0, maka f0 .
= p.
0 ) = O.
0 ) = Oep.
, dan p.
= |.
0 ) Volume .
Issued .
Year 2026 Rahmadita Widya Astuti Ae Teorema Hahn-Banach untuk Fungsional Linier Terbatas Jadi, untuk semua x OO Z berlaku f0 .
= Oep.
Ne f0 .
O p.
Karena f0 adalah fungsional linier pada subruang Z OC X, p adalah fungsional sublinier, dan f0 .
O p.
untuk semua x OO Z, maka menggunakan Teorema HahnBanach untuk memperluas suatu fungsional linier f di seluruh ruang X.
Sehingga, dengan menggunakan Teorema Hahn-Banach, terdapat perluasan fu : X Ie R yang linier dan memenuhi, fu = fu0 Karena untuk setiap x dengan OuxOu = 1 berlaku .
| O k, maka:
OufuOu = sup .
| O k.
OuxOu=1 Dari hasil di atas, telah ditunjukkan bahwa norma dari fungsional linier hasil perluasan fu tetap terbatas oleh k.
OufuOu O k.
dan fu.
O p.
OAx OO X.
Konstruksi Teorema Hahn-Banach dan berlaku fu.
0 ) = fu0 .
0 ) = p.
0 ).
Kemudian, akan dibuktikan .
| O p.
untuk semua x OO X.
Jika fu.
O p.
dan fu(Oe.
O p(Oe.
= p.
Oefu.
O p.
Ne Oep.
O fu.
| O p.
Dengan demikian, telah dibuktikan bahwa untuk setiap x0 OO X, jika p adalah fungsional sublinier, maka ada fungsional linier fu pada X sehingga:
0 ) = p.
0 ) .
| O p.
OAx OO X.
Teorema 5: Perluasan Fungsional Linier Misalkan X adalah ruang vektor riil dan p adalah fungsional sublinier pada X.
Misalkan f adalah fungsional linier yang didefinisikan pada subruang Z dari X dan f .
O p.
OAx OO Z.
Maka f memiliki perluasan linier fu dari Z ke X yang fu.
O p.
OAx OO X, yaitu fu adalah fungsional linier pada X dan fu.
= f .
untuk setiap x OO Z .
Teorema 6: Fungsional Linier Terbatas Misalkan X adalah ruang bernorma dan x0 = 0 adalah suatu elemen dari X.
Maka terdapat fungsional linier terbatas fu pada X, sehingga .
Proposition 4 Jika X dalam Teorema 1 adalah ruang bernorma dan p.
O kOuxOu untuk k > 0, maka OufuOu O k .
Bukti Diketahui X adalah ruang bernorma, p.
O kOuxOu untuk suatu konstanta k > 0, f adalah fungsional linier yang terdefinisi pada subruang Z OC X, .
| O p.
untuk semua x OO Z, dan fu adalah perluasan linier dari f ke seluruh X yang memenuhi .
| O p.
untuk semua x OO X.
Akan ditunjukkan bahwa OufuOu O k adalah norm dari fungsional linier fu yang dibatasi oleh konstanta k.
Berdasarkan Teorema Hahn-Banach, perluasan fu dari f memenuhi:
| O p.
OAx OO X.
Asumsikan p.
O kOuxOu, diperoleh:
| O p.
O kOuxOu.
OAx OO X.
Dari definisi norm dari fungsional linier terbatas fu pada ruang bernorma X, bahwa:
OufuOu = sup .
OuxOu=1 JRMM Ae Jurnal Riset Mahasiswa Matematika OufuOu = 1 fu.
0 ) = Oux0 Ou.
Dari Teorema 5 yang akan dikonstruksikan ke Teorema 6, maka akan ditunjukkan:
A fu yang linier di seluruh X A fu terbatas dan kontinu terhadap norm A fu memenuhi OufuOu = 1 dan fu.
0 ) = Oux0 Ou Diberikan x0 OO X, didefinisikan subruang Z sebagai himpunan semua vektor yang berupa kelipatan skalar dari x0 , yaitu Z = .
0 | OO R}.
Kemudian didefinisikan fungsional f OO Z yaitu f .
0 ) = Oux0 Ou, untuk setiap OO R.
Fungsional sublinier p, yaitu p.
= OuxOu untuk semua x OO X.
Perhatikan bahwa, f .
O p.
OAx OO Z.
Diambil x = x0 OO Z, maka:
A Jika > 0, f .
0 ) = Oux0 Ou = Oux0 Ou = p.
0 ) Volume .
Issued .
Year 2026 Rahmadita Widya Astuti Ae Teorema Hahn-Banach untuk Fungsional Linier Terbatas Deklarasi Penggunaan AI atau Teknologi Berbasis AI A Jika = 0, f .
= 0 = p.
A Jika < 0, f .
0 ) = Oux0 Ou < ||Oux0 Ou = p.
0 ) Dengan demikian, untuk semua x OO Z, maka f .
O p.
Kemudian menerapkan Teorema 5 bahwa terdapat perluasan linier fu : X Ie R di mana:
fu linier di seluruh X fu.
O p.
= OuxOu, untuk semua x OO X fu.
= f .
, untuk semua x OO Z.
Sehingga, fu.
0 ) = f .
0 ) = Oux0 Ou Karena fu.
0 ) = f .
0 ) = Oux0 Ou dan .
| O OuxOu, untuk setiap x OO X, maka:
0 )| Oux0 Ou Oux0 Ou X=1 Oux0 Ou OufuOu = sup Sehingga.
OufuOu = 1 Dengan demikian, fu adalah fungsional linier terbatas OufuOu = 1, fu.
0 ) = Oux0 Ou.
Kesimpulan Berdasarkan pembahasan, dapat disimpulkan sifat-sifat fungsional linier sebagai berikut:
Fungsional linier yang didefinisikan dari fungsional riil dapat diperluas ke ruang vektor kompleks dengan struktur fu.
= fu1 .
Oe ifu1 .
, dan terbukti memenuhi f .
= if .
Dengan menggunakan Teorema Hahn-Banach, setiap elemen x0 = 0 pada ruang bernorma dapat dihubungkan dengan suatu fungsional linier terbatas f yang memenuhi f .
0 ) = 1 dan Ouf Ou = Oux0 OuOe1 .
Fungsional linier f bersifat kontinu jika dan hanya jika f terbatas.
Untuk setiap fungsional sublinier p, terdapat fungsional linier f yang mendekati atau dibatasi oleh p, dengan .
| O p.
Perluasan fungsional linier fu melalui Teorema HahnBanach tetap memiliki norma yang dibatasi oleh konstanta k, selama fungsi sublinier p memenuhi p.
O kOuxOu.
Pernyataan Kontribusi Penulis (CRediT) Rahmadita Widya Astuti: Konseptualisasi.
Metodologi.
Investigasi.
PenulisanAeDraf Awal.
Visualisasi.
Dian Maharani: Supervisi.
PenulisanAeTelaah dan Penyuntingan.
Kurasi Data.
Administrasi Proyek.
Abdul Aziz: Supervisi.
Validasi.
PenulisanAeTelaah dan Penyuntingan.
JRMM Ae Jurnal Riset Mahasiswa Matematika Model ChatGPT versi 4 digunakan untuk membantu penyusunan draf awal, koreksi struktur kalimat, dan penyelarasan terminologi matematika dalam penulisan naskah.
Deklarasi Konflik Kepentingan Penulis menyatakan tidak ada konflik kepentingan.
Pendanaan dan Ucapan Terima Kasih Penelitian ini tidak menerima pendanaan eksternal.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Program Studi Matematika.
Fakultas Sains dan Teknologi.
Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang atas dukungan fasilitas dan bimbingan dalam proses penyelesaian penelitian ini.
Ketersediaan Data Data dalam penelitian ini berupa hasil studi literatur dan tidak mengandung data primer atau sekunder yang dapat diakses secara publik.
Oleh karena itu, tidak ada data yang tersedia untuk dibagikan.
Informasi lebih lanjut dapat diperoleh dari penulis korespondensi atas permintaan yang wajar.
Daftar Pustaka