Diterima Disetujui Hal : 09 Juli 2024
: 17 Juli 2024
: 150-158
Al-Aqlu: Jurnal Matematika.
Teknik dan Sains https://jurnal.
com/index.
php/aqlu e-ISSN : 2985-4369 Vol.
No.
Juli 2024
PENERAPAN METODE RUNGE KUTTA FEHLBERG PADA PERSAMAAN LOGISTIK DALAM
MEMPREDIKSI PERTUMBUHAN PENDUDUK DI SULBAR
[Application Of The Runge Kutta Fehlberg Method In Logistic Equations in Predicting Population Growth in Sulba.
Syarfiah.
Muh.
Irwan.
Sri Dewi Anugrawati.
Program Studi Matematika.
Fakultas Sains dan Teknologi.
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar syarfiah03@gmail.
ABSTRAK Penelitian ini membahas penerapan metode Runge Kutta Fehlberg untuk persamaan logistik dalam memprediksi pertumbuhan populasi di Sulawesi Barat.
Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian terapan yang bertujuan untuk memperoleh hasil prediksi pertumbuhan populasi di Provinsi Sulawesi Barat dimasa depan.
Hasil penelitian diperoleh dengan ukuran langkah Ea = 0,01 dan laju pertumbuhan yco = 0,0198 yang menggunakan metode Runge-Kutta Fehlberg (RKF .
dengan nilai populasi awal yaitu ycE.
c0 ) = 1.
229 jiwa adalah ycE.
c10 ) = 1.
142 jiwa.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa metode Runge Kutta Fehlberg (RKF .
dapat diterapkan pada persamaan logistik dalam memprediksi jumlah penduduk di Provinsi Sulawesi Barat.
Kata kunci: Persamaan diferensal biasa.
metode runge kutta fehlberg 45.
persamaan logistik.
pertumbuhan penduduk ABSTRACT This research discusses the application of the Runge Kutta Fehlberg method in predicting population growth in West Sulawesi through the logistic equation.
Employing applied research methodology, the study seeks to forecast future population trends in the West Sulawesi province.
Utilizing a step size of h = 0.
01 and a growth rate of m = 0.
0198, the Runge-Kutta Fehlberg method (RKF .
was applied, starting from an initial population value of ycE.
c0 ) = 1.
229 individuals, resulting in a projected population of ycE.
= 1.
142 individuals.
These findings demonstrate the applicability of the Runge-Kutta Fehlberg (RKF .
method in predicting population dynamics in West Sulawesi Province.
Keywords: Ordinary differential equations.
runge kutta fehlberg 45 method.
logistics equation.
population growth
PENDAHULUAN
Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang penting dalam kehidupan sehari-hari.
Matematika adalah induk ilmu pengetahuan, dibangun dari pengembangan konsep-konsep dasar kebentuk berfikir yang lebih kompleks dan kemampuan menganalisis masalah dengan menghubungkan dengan konsep yang diakui Dengan bantuan pembelajaran matematika tidak hanya dapat memecahkan masalah matematika, tetapi juga diharapkan dapat menjadi solusi dalam permasalahan sehari-hari.
Persamaan diferensial merupakan salah satu cabang dari matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam berbagai ilmu pengetahuan seperti bidang ekonomi, biologi, fisika, matematika dan lain sebagainya.
Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
Persamaan diferensial biasa dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial biasa linier dan non linier.
Gabungan dari beberapa persamaan diferensial disebut sistem persamaan diferensial.
Beberapa fenomena di alam dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial yaitu seperti model ayunan sederhana, model populasi logistik menurut Verhulst, laju perubahan tekanan uap suatu zat, hukum gerak Newton dan lain-lain.
Persamaan diferensial biasa nonlinear meliputi model ayunan sederhana dan model populasi logistik.
Dimana pada model pertumbuhan logistik, memasukkan batas untuk populasinya sehingga jumlah populasi tidak akan tumbuh secara tak terhingga.
Ada dua jenis persamaan diferensial yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang hanya memuat satu variabel bebas.
Ketika yc.
cu ) diambil sebagai fungsi satu variabel, ycu disebut variabel bebas dan yc disebut variabel terikat.
Sedangkan persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang mengandung dua atau lebih variabel Metode yang dapat digunakan untuk memecahkan persamaan diferensial biasa orde tinggi adalah metode numerik.
Digunakan metode numerik yang merupakan metode untuk memperoleh solusi Sejauh ini dikenali beberapa metode numerik seperti metode Euler, metode deret Taylor, dan metode Runge-Kutta.
Semua metode ini dikelompokkan ke dalam metode satu langkah karna untuk menaksir nilai dibutuhkan satu buah taksiran nilai sebelumnya.
Metode Runge Kutta adalah metode yang dalam perhitungannya hanya membutuhkan sebuah nilai awal untuk memperoleh solusinya.
Oleh karena itu.
Metode Runge Kutta termasuk salah satu metode satu Metode Runge Kutta disebut juga metode penyelesaian masalah nilai awal persamaan diferensial dengan pendekatan iterasi numerik.
Metode ini merupakan metode alternatif dari metode deret taylor yang memberikan ketelitian hasil yang besar dan tidak memerlukan turunan fungsi.
Metode Runge-Kutta Fehlberg (RKF .
termasuk salah satu metode numerik yang memiliki kelebihan pada hal akurasi.
Metode ini juga secara efektif menangani perubahan cepat dalam variabel dependen dan menjadikannya pilihan yang baik dalam pemecahan persamaan diferensial.
Metode RungeKutta- Fehlberg (RKF .
adalah metode dari keluarga Runge-Kutta orde 4 dengan akurasi atau tingkat ketelitian hingga orde-5.
Ketelitian tinggi dapat terjadi karena metode ini memiliki 6 konstanta perhitungan yang dapat memperbarui solusi sampai orde-5.
Metode RKF 45 merupakan metode Runge Kutta yang sering digunakan dan salah satu metode popular saat ini.
Galat pemotongan pada metode ini dapat dihitung dengan membandingkan hasil perhitungan ycycn 1 dan ycC1 1 pada orde selanjutnya.
Penelitian sebelumnya membahas Metode Runge-Kutta-Fehlberg untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Non Linear menggunakan persamaan Lotka-Volterra (Randhi Nanang Darmawan, 2.
Penelitian lainnya solusi numerik persamaan diferensial non linear dengan metode runge kutta pada model populasi logistik (Irma, 2.
Dalam penelitian ini, dibahas persamaan diferensial biasa nonlinier yaitu persamaan logistik untuk memprediksi jumlah pertumbuhan penduduk.
Model pertumbuhan logistik, juga dikenal sebagai model terkait kepadatan yang merupakan model pertumbuhan populasi yang mencerminkan pengaruh kompetisi intraspesifik.
Penghambatan pertumbuhan penduduk dapat dijelaskan secara matematis dengan menambahkan pengaruh variabel kepadatan ke persamaan eksponensial.
Bentuk persamaan logistik yaitu:
) ycE.
= yco .
Oe yccyc ya .
menyatakan jumlah penduduk pada saat t, ycoo menyatakan laju pertumbuhan populasi dan ya merupakan kapasitas lingkungan yang menunjukkan batas maksimal dimana pertumbuhan dapat terjadi.
Persamaan diatas merupakan persamaan diferensial biasa orde satu nonlinear dan disebut sebagai persamaan logistik.
Sulawesi Barat merupakan salah satu kelompok provinsi kecil yang ada di Indonesia dan pernah menjadi bagian dari Provinsi Sulawesi Selatan.
Provinsi ini memiliki potensi geografis cukup strategis (Septika Dwi Haryati, 2.
Provinsi Sulawesi Barat memiliki peran strategis dalam mendukung peran Sulawesi di tingkat nasional sebagai pusat produksi dan pengolahan hasil pertanian, perkebunan, perikanan serta pertambangan nikel khususnya simpul perkebunan kakao dan simpul perikanan.
Kinerja perekonomian Sulawesi Barat tahun 2011 Ae 2013 cenderung mengalami penurunan.
Kemudian meningkat lagi menjadi 8,73 pada tahun 2014.
Selama kurun waktu tersebut laju pertumbuhan rata-rata Sulawesi Barat sebesar 8,91 persen, berada di atas rata-rata nasional 5,9 persen.
Tingginya pertumbuhan ekonomi Sulawesi Barat turut didukung oleh pemanfaatan sumber daya alam yang melimpah di wilayah ini.
Pertambahan penduduk dapat mempengaruhi kemajuan dan kesejahteraan suatu wilayah, serta pemenuhan kebutuhan penduduk dimasa yang akan datang maka memerlukan peningkatan kualitas perencanaan pembangunan.
Oleh karena itu, saat ini dan di masa yang akan datang, data kependudukan sangat dibutuhkan melalui prakiran jumlah penduduk.
Berdasar uraian di atas, rumusan masalah pada penelitian ini adalah bagaimana pertumbuhan penduduk di Sulawesi Barat menggunakan metode Runge-Kutta Fehlberg (RKF .
Adapun tujuan penelitian adalah untuk mengetahui pertumbuhan penduduk di Provinsi Sulawesi Barat menggunakan metode Runge-Kutta Fehlberg (RKF .
METODE PENELITIAN
Penelitian ini menggunakan penelitian kajian teori dan terapan.
Penelitian terapan yaitu proses pengumpulan, pencatatan, dan analisis data yang sistematis dan objektif yang dilakukan dalam pengambilan Sedangkan kajian teori membahas mengenai serangkaian konsep, definisi, dan perspektif terhadap suatu hal yang tesusun secara sistematis.
Adapun prosedur penelitian yang diterapkan oleh peneliti adalah sebagai berikut:
Mengambil data sekunder untuk persamaan logistik yang berasal dari Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Sulawesi Barat yaitu data jumlah penduduk, laju pertumbuhan penduduk, dan kapasitas tampung Sulawesi Barat.
Menentukan nilai fungsi dari persamaan logistik.
) ycE.
= yco .
Oe yccyc ya Melakukan perhitungan dengan metode Runge Kutta Fehlberg orde 4 dan orde 5 untuk mendapatkan solusi numerik pada persamaan logistik.
Formula orde-4 :ycEycn 1 = ycEycn 216 yco1 2565 yco3 4104 yco4 Oe 5 yco5 Formula orde-5 :ycECycn 1 = ycEycn 135 yco1 12825 yco3 56430 yco4 Oe 50 yco5 55 yco6 Dengan yco1 = Eayce .
cycn , ycEycn ) dan ycoycu = Eayce .
cycn ycaycu Ea , ycE.
ycn OcycuOe1 yco=1 ycaycuyco ycoyco ), ycu = 2.
A 6 Keterangan:
ycycn dan ycE.
ycn ycn ycA Ea ycaycu dan ycaycuyco : Nilai awal : 0,1,2.
A , ycA Oe 1 : Banyak langkah atau iterasi : Ukuran langkah : Koefisien dari metode RKF 45 Menginterpretasikan hasil solusi numerik menggunakan metode Runge-Kutta Fehlberg (RKF .
Menarik kesimpulan dari hasil solusi numerik pada persamaan logistik menggunakan metode RungeKutta Fehlberg (RKF .
HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan prosedur penelitian, langkah-langkah yang perlu dilakukan untuk memperoleh prediksi jumlah pertumbuhan penduduk di Provinsi Sulawesi Barat menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg (RKF .
diberikan sebagai berikut :
Langkah 1: Data yang diperoleh dari Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Sulawesi Barat Berdasarkan data dari Badan Pusat Statistik (BPS) Provinsi Sulawesi Barat luas wilayah Sulawesi Barat mengikuti keputusan Menteri Dalam negeri Nomor 100.
1-6117 Tahun 2022 yaitu 16.
594,75 km2 .
Penduduk Provinsi Sulawesi Barat tahun 2020 berdasarkan hasil sensus penduduk sebanyak 1.
Laju pertumbuhan penduduk pertahun tercatat 1,98 persen atau 0,0198 dengan kepadatan penduduk 126 jiwa/km2 .
Untuk menentukan kapasitas daya tampung digunakan rumus sebagai berikut:
ya = Luas daerah y Kepadatan penduduk = 16.
594,75 ycoyco2 y 126 jiwa/ycoyco2 = 2.
938,5 jiwa ya OO 2.
939 jiwa Langkah 2: Menentukan nilai fungsi dari persamaan logistik Nilai-nilai dari langkah 1 disubtitusikan ke persamaan logistik yccycE ycE.
) ycE.
= yco .
Oe yccyc ya yce.
cycn , ycEycn ) = 0,0198 .
Oe ycE.
cycn ) ) ycE.
cycn ) Pada iterasi pertama, interval waktu atau jarak langkah yang digunakan yaitu Ea = 0,01 (Yenci & Lutfi.
Kemudian nilai awal ycE.
c0 ) = 1.
Langkah 3: Melakukan perhitungan dengan metode Runge Kutta Fehlberg orde 4 dan orde 5 untuk mendapatkan solusi numerik pada persamaan logistik.
Pada iterasi pertama, interval waktu atau jarak langkah yang digunakan yaitu Ea = 0,01.
Kemudian diberikan ycE.
c0 ) = 1.
229 dan yc0 = 0 tahun sebagai nilai awal sehingga diperoleh hasil penyelesaian numerik model persamaan logistik menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg (RKF .
sebagaimana pada persamaan berikut:
ycE0 1 = ycE0 yco1 yco3 yco4 Oe yco5 ycEC0 1 = ycE0 yco1 yco3 yco4 Oe yco5 yco6 yc1 = yc0 ycnEa Dengan yco1 = Eayce .
c0 , ycE0 ) ycE = Ea y .
Oe ya0 ) ycE0 ) = 0,01 y .
,0198 .
Oe ) 1.
= 90,27305
yco2 = Eayce .
c0 Ea , ycE0 yco1 ) = Ea y .
ycE0 yco1 ya ) .
cE0 4 yco1 ) ) = 0,01 y .
,0198 .
,27.
) .
229 4 .
,27.
) )
= 90,27145
yco3 = Eayce .
c0 Ea , ycE0 yco1 yco ) = Ea y .
Oe ycE0 yco1 yco2 ya = 0,01 y .
,0198 .
Oe ) ycE0 32 yco1 32 yco2 ) 229 .
,27.
,27.
) .
229 32 .
,27.
,27.
= 90,27065
yco4 = Eayce .
c0 13 Ea , ycE0 2197 yco1 Oe 2197 yco2 2197 yco3 ) = Ea y .
yco Oe
2197 1 2197 2 2197 3
ycE0 ya = 0,01 y .
,0198 .
Oe .
,27.
Oe ) ycE0 2197 yco1 Oe 2197 yco2 2197 yco3 ) .
,27.
Oe .
,27.
,27.
) 1.
,27.
,27.
= 90,26715
yco5 = Eayce .
c0 Ea , ycE0 = Ea y .
yco1 Oe 8yco2
yco3 Oe
yco ) yco Oe8yco2
yco Oe
513 3 4101 4
ycE0 = 0,01 y .
,0198 .
Oe ya ) ycE0 216 yco1 Oe 8yco2 513 yco3 Oe 4101 yco4 ) .
,27.
Oe8.
,27.
,27065 )Oe .
,26.
) 1.
,27.
Oe 8.
,27.
,27065 ) Oe 4101 .
,26.
) = 90,26666 yco6 = Eayce .
c0 Ea , ycE0 Oe yco1 2yco2 Oe yco4 Oe yco ) = Ea y .
yco Oe yco
2565 3 4104 4 40 5
ycE0 Oe yco1 2yco2 Oe ya ) ycE0 Oe 27 yco1 2yco2 Oe 2565 yco3 4104 yco4 Oe 40 yco5 ) = 0,01 y .
,0198 .
,27.
,26.
Oe .
,26.
229Oe .
,27.
,27.
Oe ) 1.
229 Oe .
,27.
,27.
Oe 2565 .
,27.
,26.
Oe 40 .
,26.
) = 90,26986 Kemudian mensubtitusikan nilai dari fungsi evaluasi yco1 sampai yco6 ke formulasi orde 4 maka akan diperoleh hasil dari solusi numerik pada model persamaan logistik menggunakan metode RKF orde 4 sebagai berikut:
ycE0 1 = ycE0 ycE1 = ycE0 yco1 yco3 yco4 Oe yco5 yco1 yco3 yco4 Oe yco5 ycE1 = 1.
229 216 .
,27.
,27.
,26.
Oe 5 .
,26.
ycE1 = 1.
319,26985.
Jadi pada waktu t1 = t 0 Ea
= 0 0,01
= 0,01.
Diperoleh ycE.
c1 ) = 1.
319 kemudian untuk iterasi selanjutnya dilakukan hal yang sama hingga iterasi ke-1000 atau akan memprediksi pertumbuhan penduduk untuk 10 tahun kedepan dengan menggunakan program R-Studio yaitu pada Tabel 1 Tabel 1.
Hasil Solusi Numerik Pada Pers.
Logistik Menggunakan Metode RKF Orde 4 Iterasi .
eO) yeiyeO eiyeO ) 0,01 0,02 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 Selanjutnya mensubtitusikan nilai dari fungsi evaluasi yco1 sampai yco6 ke formulasi orde 5 untuk memperoleh hasil dari solusi numerik pada model persamaan logistik menggunakan metode RKF orde 5 sebagai berikut:
ycEC0 1 = ycE0 ycEC1 = ycE0 yco1 yco3 yco4 Oe yco5 yco6 yco1 yco3 yco4 Oe yco5 yco6 ycEC1 = 1.
229 135 .
,27.
,27.
,26.
Oe 50 .
,26.
,26.
ycEC1 = 1.
319,26985.
Jadi pada waktu yc = 0.
01 diperoleh ycEC1 = 1.
319 jiwa kemudian untuk iterasi selanjutnya dilakukan hal yang sama hingga iterasi ke-1000 atau akan memprediksi pertumbuhan penduduk untuk 10 tahun ke depan dengan menggunakan program R-Studio yaitu pada Tabel 2 Tabel 2.
Hasil Solusi Numerik Pada Pers.
Logistik Menggunakan Metode RKF Orde 5 C .
eiyeO ) Iterasi .
eO) yeiyeO
0,01
0,02
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
Plot Grafik hasil iterasi solusi numerik menggunakan metode Runge-Kutta Fehlberg (RKF .
pada model persamaan logistik menggunakan program R-Studio, akan ditunjukkan pada plot Grafik sebagai Gambar 1.
Jumlah Populasi penduduk di Sulawesi Barat Gambar 1 memperlihatkan bahwa dengan nilai awal atau ycE0 senilai 1.
229 jiwa dapat membuat grafik populasi penduduk mengalami peningkatan dari tahun ketahun hingga berada pada waktu yc = 300 tahun kedepan dan ditahun selanjutnya mengalami peningkatan yang stabil karna telah mendekati kapasitas tampungnya sehingga peningkatan penduduknya semakin melambat yaitu 2.
889 jiwa Hasil penyelesaian model persamaan logistik menggunakan metode RKF 45 untuk Ea = 0,01 ditunjukkan pada Tabel 2.
Berdasarkan hasil analisis tersebut dapat ditentukan nilai galat pemotongan/galat relatif metode RKF 45 yang diperoleh dengan melakukan operasi antara selisih variabel pada orde 4 dengan Adapun hasil perhitungan galat relatif pada persamaan logistik dengan menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg (RKF .
untuk 0,01 Tahun dapat dilihat pada Tabel 3 sebagai berikut :
Tabel 3.
Solusi Numerik dan Galat Pada Pers.
Logistik Menggunakan Metode RKF 45 Iterasi .
eO) yeiyeO eiyeO ) yu ei yeO) 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 Berdasarkan Tabel 3 dapat dilihat bahwa dengan jumlah iterasi 1000 pada waktu 0,01 Tahun menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg 45 diperoleh nilai galat yang kecil.
Semakin kecil galat yang dihasilkan maka semakin teliti solusi numerik yang didapatkan (Alkimsom, 1.
Pada hasil prediksi, banyaknya jumlah penduduk di Sulawesi Barat menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg (RKF .
dengan nilai awal pada tahun 2020 yang diberikan ycE .
c0 ) = 1.
229 jiwa diselesaikan secara numerik sampai pada iterasi ke- 1000 atau 10 Tahun kedepan, diperoleh 1.
Jumlah penduduk tersebut berdasarkan dari solusi numerik dari metode Runge Kutta Fehlberg (RKF Hasil penelitian menunjukkan bahwa pertumbuhan penduduk di Sulawesi Barat mengalami peningkatan dari nilai awal yang diberikan.
Pertambahan penduduk berdasarkan hasil prediksi selama 10 tahun sebanyak 86.
913 jiwa atau rata-rata 9,0 jiwa setiap tahun.
Selanjutnya akan mengalami peningkatan yang stabil jika mendekati kapasitas tampungnya .
a ) = 2.
939 jiwa sehingga peningkatan penduduknya semakin melambat.
PENUTUP
Simpulan Berdasarkan tujuan dari penelitian dan hasil yang diperoleh, maka dapat disimpulkan bahwa metode Runge Kutta Fehlberg (RKF .
dapat diterapkan pada persamaan logistik dalam memprediksi jumlah penduduk di Provinsi Sulawesi Barat.
Adapun solusi numerik menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg (RKF .
dengan ukuran langkah Ea = 0,01 didapatkan untuk 0,01 Tahun yaitu 1.
319 jiwa dan untuk prediksi 10 tahun ke depan, diperoleh hasil yaitu jumlah penduduk .
cE) sebesar 1.
142 jiwa.
Saran