Page 1 of 12 - Cover Page Submission ID trn:oid:::1:3600253146 Check in kalkulus tanpa template.
RESEARCH - NO REPOSITORY 5
TUGAS B
Universitas Muhammadiyah Sukabumi Document Details Submission ID trn:oid:::1:3600253146 9 Pages Submission Date 2,147 Words Jun 23, 2026, 7:02 PM GMT 7 14,599 Characters Download Date Jun 23, 2026, 7:03 PM GMT 7 File Name kalkulus_tanpa_template.
File Size
0 KB
Page 1 of 12 - Cover Page Submission ID trn:oid:::1:3600253146 Page 2 of 12 - Integrity Overview Submission ID trn:oid:::1:3600253146 12% Overall Similarity The combined total of all matches, including overlapping sources, for each database.
Filtered from the Report Bibliography Top Sources Internet sources Publications Submitted works (Student Paper.
Page 2 of 12 - Integrity Overview Submission ID trn:oid:::1:3600253146 Page 3 of 12 - Integrity Overview Submission ID trn:oid:::1:3600253146 Top Sources Internet sources Publications Submitted works (Student Paper.
Top Sources The sources with the highest number of matches within the submission.
Overlapping sources will not be displayed.
Internet Publication Sudianto Manullang.
Dita Aryani.
Hanifah Rusydah.
"Analisis Principal ComponenA
Student papers Universitas Islam Negeri Raden Fatah
<1%
Publication Min Chen.
"Theory and application of specular path perturbation".
ACM TransactiA
<1%
Internet
<1%
Internet
Internet
Internet
<1%
Internet
Page 3 of 12 - Integrity Overview
<1%
Submission ID trn:oid:::1:3600253146 Page 4 of 12 - Integrity Submission Submission ID trn:oid:::1:3600253146 Verifikasi Teorema Divergensi Gauss pada Domain Bola Simetris di EyA: Pendekatan Analitik dengan Parameter JariJari Konkret Angelina Laurensia Pardosi1.
Christine Refael Margaretha Lubis2.
Fakhrurozi Arrofiq Saragih3.
Flawrena Noviyani Aritonang4.
Ruth Prima Stefani Nababan5.
Hamidah Nasution6.
Alvi Sahrin Nasution7 Program Studi Matematika.
Universitas Negeri Medan.
Indonesia.
4241230006@mhs.
Program Studi Matematika.
Universitas Negeri Medan.
Indonesia.
4243230026@mhs.
3Program Studi Matematika.
Universitas Negeri Medan.
Indonesia.
rozisaragih08@gmail.
com 4Program Studi Matematika.
Universitas Negeri Medan.
Indonesia.
4241230021@mhs.
5Program Studi Matematika.
Universitas Negeri Medan.
Indonesia.
ruthprimastevani@gmail.
6Program Studi Matematika.
Universitas Negeri Medan.
Indonesia.
hamidah_mat67@yahoo.
Program Studi Matematika.
Universitas Negeri Medan.
Indonesia.
alvinasution90@gmail.
Abstrak.
Teorema Divergensi Gauss merupakan salah satu teorema integral fundamental dalam kalkulus vektor yang menyatakan kesetaraan antara integral divergensi suatu medan vektor pada suatu domain dengan integral fluks medan vektor melalui permukaan batasnya.
Meskipun teorema ini telah dikenal luas, banyak penyajian dalam literatur yang tidak menguraikan proses komputasinya secara eksplisit dan terstruktur, sehingga menyulitkan pemahaman konseptual.
Penelitian ini bertujuan menyajikan verifikasi analitik Teorema Divergensi Gauss secara lengkap dan sistematis pada domain bola berjari-jari ycI = 12 di EyA menggunakan medan vektor ya.
cu, yc, y.
= .
cu, yc, y.
Perhitungan divergensi menghasilkan nilai konstan yu A ya = 3, sehingga integral volume pada domain bola diperoleh sebesar 6912yuU.
Secara terpisah, integral fluks permukaan melalui bola berjari-jari 12 juga menghasilkan nilai 6912yuU.
Kesetaraan kedua nilai tersebut memverifikasi berlakunya Teorema Divergensi Gauss pada domain dan medan vektor yang dikaji.
Domain bola dipilih karena simetri radialnya mempermudah proses integrasi sekaligus memberikan interpretasi geometris yang jelas terhadap konsep divergensi dan fluks.
Kata kunci: Teorema Divergensi Gauss, kalkulus vektor, divergensi, fluks permukaan, domain bola.
Abstract.
Gauss's Divergence Theorem is one of the fundamental integral theorems in vector calculus, stating the equivalence between the divergence integral of a vector field over a domain and the flux integral of the field across its bounding surface.
Although this theorem is well established, many presentations in the literature do not elaborate on the computational process explicitly and systematically, making conceptual understanding difficult.
This study aims to present a complete and systematic analytical verification of Gauss's Divergence Theorem on a spherical domain of radius ycI = 12 ycnycu EyA using the vector field ya.
cu, yc, y.
= .
cu, yc, y.
The divergence computation yields the constant value yu A ya = 3, resulting in a volume integral over the spherical domain equal to 6912A.
Independently, the surface flux Page 4 of 12 - Integrity Submission Submission ID trn:oid:::1:3600253146 Page 5 of 12 - Integrity Submission Submission ID trn:oid:::1:3600253146 integral across the sphere of radius 12 also yields 6912A.
The equality of both values verifies that Gauss's Divergence Theorem holds for the domain and vector field under consideration.
The spherical domain is selected because its radial symmetry simplifies the integration process and provides a geometrically transparent interpretation of divergence and flux.
Keywords: GaussAos Divergence Theorem, vector calculus, divergence, surface flux, spherical Pendahuluan Kalkulus vektor merupakan cabang analisis matematika yang memiliki peran sentral dalam pemodelan fenomena fisika dan rekayasa, terutama yang melibatkan medan dan aliran dalam ruang tiga dimensi.
Salah satu persoalan mendasar dalam kajian ini adalah bagaimana mengaitkan sifat lokal suatu medanAiyang dinyatakan melalui turunan parsialAidengan perilaku globalnya pada suatu domain ruang.
Keterkaitan tersebut diformulasikan secara elegan melalui teorema-teorema integral, salah satunya Teorema Divergensi yang dikembangkan oleh Carl Friedrich Gauss sebagai landasan analisis medan kontinu (Stewart, 2016.
Marsden & Tromba, 2.
Secara formal.
Teorema Divergensi Gauss menyatakan bahwa integral fluks suatu medan vektor melalui permukaan tertutup ekuivalen dengan integral divergensi medan tersebut pada volume yang dibatasinya.
Teorema ini tidak hanya relevan secara teoretis, tetapi juga mendasari prinsip-prinsip fisika fundamental seperti hukum kekekalan massa, hukum Gauss dalam elektromagnetisme, dan persamaan kontinuitas dalam mekanika fluida (Kreyszig, 2011.
Arfken.
Weber, & Harris, 2.
Syarat berlakunya teorema ini adalah bahwa setiap komponen medan vektor memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada domain yang ditinjau (Marsden & Tromba, 2012.
Briggs.
Cochran, & Gillett, 2.
Meskipun teorema ini sudah banyak disajikan dalam literatur, sebagian besar penyajiannya bersifat abstrak dan ringkas tanpa menguraikan tahapan komputasi secara menyeluruh.
Prastyo .
mencatat bahwa sejumlah kajian masih terbatas pada penyajian hasil akhir tanpa memperlihatkan proses integrasi secara lengkap, padahal pemaparan langkah demi langkah sangat diperlukan untuk membangun pemahaman konseptual yang kokoh.
Sementara itu.
Said dkk.
menunjukkan bahwa domain berbentuk bola memiliki keunggulan analitis karena simetri radialnya mempermudah proses integrasi dan memperjelas interpretasi geometris antara divergensi sebagai besaran lokal dan fluks sebagai besaran global.
Lebih jauh.
Siregar dan Wahyuni .
serta Sari dan Kurniawan .
juga menegaskan perlunya verifikasi eksplisit pada domain konkret sebagai upaya penguatan pemahaman teorema integral dalam kerangka kalkulus vektor klasik.
Berdasarkan hal tersebut, penelitian ini menyajikan verifikasi Teorema Divergensi Gauss secara analitik dan sistematis pada domain bola berjari-jari ycI = 12 yccycn EyA untuk medan vektor kelas CA, yaitu ya.
cu, yc, y.
= .
cu, yc, y.
Nilai ycI = 12 dipilih sebagai parameter konkret yang representatif untuk menampilkan keseluruhan proses komputasi secara eksplisit, mulai dari perhitungan divergensi, integral volume dalam koordinat bola, hingga integral fluks permukaan, tanpa menghilangkan satu pun Page 5 of 12 - Integrity Submission Submission ID trn:oid:::1:3600253146 Page 6 of 12 - Integrity Submission Submission ID trn:oid:::1:3600253146 tahapan analitis.
Kontribusi utama penelitian ini terletak pada penyajian verifikasi yang transparan dan komprehensif sehingga dapat menjadi referensi pedagogis yang lebih mudah dipahami dibandingkan penyajian yang hanya memuat hasil akhir.
Metode Penelitian ini menggunakan pendekatan analitik-deduktif untuk memverifikasi kebenaran Teorema Divergensi Gauss melalui perbandingan langsung antara dua kuantitas integral, yaitu integral volume dari divergensi medan vektor pada domain bola dan integral fluks medan vektor melalui permukaan batas domain tersebut.
Pendekatan ini dipilih karena memungkinkan setiap tahapan komputasi disajikan secara eksplisit dan terstruktur, sehingga memperkuat transparansi proses verifikasi.
Proses verifikasi dilaksanakan melalui enam tahapan sistematis.
Pertama, ditentukan medan vektor yang akan dikaji beserta syarat keteraturannya, yakni bahwa setiap komponen medan memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada domain yang Kedua, dihitung divergensi medan vektor menggunakan definisi standar operator nabla, yaitu yu A ya = Ketiga, dievaluasi integral volume dari divergensi pada domain bola.
Karena divergensi medan vektor yang dipilih menghasilkan nilai konstan, integral volume mereduksi menjadi perkalian nilai konstanta tersebut dengan volume domain bola, sehingga tidak diperlukan transformasi ke koordinat bola secara eksplisit.
Keempat, ditentukan vektor normal satuan yang mengarah ke luar permukaan bola, dengan memanfaatkan fakta bahwa pada setiap titik permukaan bola berlaku .
= ycI, sehingga vektor normal satuan , , keluar dapat dinyatakan sebagai ycu = Kelima, dievaluasi integral fluks medan vektor melalui permukaan bola.
Simetri radial domain bola menjadikan nilai FAnC konstan di seluruh permukaan, sehingga integral fluks dapat diperoleh dari perkalian nilai FAnC dengan luas permukaan bola, tanpa memerlukan parametrisasi permukaan Keenam, kedua hasil perhitungan dibandingkan untuk memverifikasi kesetaraannya sesuai pernyataan Teorema Divergensi Gauss.
Tahapan verifikasi secara keseluruhan disajikan pada Gambar 1 berikut.
Page 6 of 12 - Integrity Submission Submission ID trn:oid:::1:3600253146 Page 7 of 12 - Integrity Submission Submission ID trn:oid:::1:3600253146 (Gambar 1.
Diagram alur metode verifikasi Teorema Divergensi Gaus.
Hasil dan Pembahasan Dalam melakukan verifikasi, terlebih dahulu digunakan konsep dasar dari Teorema Divergensi Gauss pada medan vektor di ruang tiga dimensi.
Misalkan suatu medan vektor dinyatakan sebagai yaI.
cu, yc, y.
= .
a , ya , ya ), dengan setiap komponennya memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada domain yang ditinjau.
Divergensi dari medan vektor tersebut didefinisikan sebagai OCya OCya OCya ONUIyaI= OCycu OCyc OCyc Teorema Divergensi Gauss menyatakan bahwa untuk suatu domain tertutup dengan batas permukaan yang halus, integral fluks medan vektor melalui permukaan tersebut sama dengan integral divergensi medan vektor pada volume yang dibatasinya, yang secara matematis dinyatakan sebagai (ON UI yaI) yccycO = yaI UI ya yccycI, dengan ycu merupakan vektor normal satuan yang mengarah ke luar permukaan.
Pada penelitian ini, domain yang dikaji adalah sebuah bola di ruang tiga dimensi dengan jari-jari tertentu.
Secara matematis, domain tersebut dinyatakan sebagai Page 7 of 12 - Integrity Submission Submission ID trn:oid:::1:3600253146 Page 8 of 12 - Integrity Submission Submission ID trn:oid:::1:3600253146 yaA = {.
cu, yc, y.
O ycu yc yc O ycI }, dengan batas permukaan berupa bola yang memenuhi ycI = {.
cu, yc, y.
O ycu yc yc = ycI }.
Permukaan bola tersebut merupakan permukaan tertutup dengan vektor normal satuan yang mengarah ke luar.
Dalam penelitian ini, digunakan kasus khusus dengan jari-jari ycI = 12untuk mempermudah proses perhitungan dan analisis.
Pemilihan domain berbentuk bola didasarkan pada sifat simetri yang dimilikinya, sehingga memudahkan dalam penerapan Teorema Divergensi Gauss.
Berdasarkan domain yang telah ditentukan tersebut, selanjutnya dilakukan verifikasi Teorema Divergensi Gauss pada bola berjari-jari 12 di EyA.
Domain tersebut dapat dinyatakan sebagai yaA = {.
cu, yc, y.
OO Ey O ycu yc yc O .
dengan batas permukaan:
OCyaA = {.
cu, yc, y.
OO Ey O ycu yc yc = .
Verifikasi dilakukan mengikuti tahapan pada metode penelitian yang telah disusun Penentuan Medan Vektor Dalam penelitian ini dipertimbangkan medan vektor berbentuk ya.
cu, yc, y.
= .
cu, yc, y.
Medan vektor tersebut merupakan fungsi yang kontinu dan memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada seluruh ruang Ey , sehingga memenuhi syarat untuk penerapan Teorema Divergensi Gauss.
Domain yang digunakan adalah bola berjari-jari ycIyang didefinisikan sebagai:
yaA = {.
cu, yc, y.
O ycu yc yc O ycI } dengan permukaan batas berupa:
ycI = {.
cu, yc, y.
O ycu yc yc = ycI }.
Pada penelitian ini digunakan kasus khusus ycI = 12.
Ilustrasi domain bola beserta permukaan batasnya disajikan pada Gambar 2 berikut.
Page 8 of 12 - Integrity Submission Submission ID trn:oid:::1:3600253146 Page 9 of 12 - Integrity Submission Submission ID trn:oid:::1:3600253146 Gambar 2.
Domain bola B berjari-jari R = 12 dan permukaan batas S di EyA Perhitungan Divergensi Divergensi dari medan vektor yaadalah OC ONUIya = .
OCycu OCyc OCyc Sehingga diperoleh:
ONUIya =1 1 1= 3 Dengan demikian divergensi medan vektor tersebut bernilai konstan, yaitu 3.
Perhitungan Integral Volume Integral volume divergensi pada domain bola yadalah (ON UI y.
yccycO = 3 yccycO = 3 y Volume.
aA) Volume bola dengan jari-jari ycIadalah Volume.
aA) = yuUycI Sehingga diperoleh:
(ON UI y.
yccycO = 3 y yuU.
= 3 y yuU.
= 3 y 2304yuU = 6912yuU Perhitungan Fluks Permukaan Fluks medan vektor melalui permukaan bola dihitung dengan ya UI ycu yccycI Page 9 of 12 - Integrity Submission Submission ID trn:oid:::1:3600253146 Page 10 of 12 - Integrity Submission Submission ID trn:oid:::1:3600253146 Pada permukaan bola berlaku O yc O= ycI Vektor normal satuan keluar adalah .
cu, yc, y.
ycu= ycI Sehingga:
yaUIycu= .
cu, yc, y.
UI .
cu, yc, y.
ycu yc yc ycI = ycI = 12 ycI ycI ycI Luas permukaan bola adalah Luas.
cI) = 4yuUycI = 4yuU.
= 576yuU Maka fluks yang diperoleh adalah ya UI ycu yccycI = 12 y 576yuU = 6912yuU Verifikasi Teorema Dari hasil perhitungan diperoleh (ON UI y.
yccycO = 6912yuU ya UI ycu yccycI = 6912yuU Karena kedua nilai tersebut sama, maka hasil ini memverifikasi kebenaran Teorema Divergensi Gauss pada domain bola dengan jari-jari 12untuk medan vektor yang Hasil verifikasi ini konsisten dengan temuan Prastyo .
yang menunjukkan berlakunya Teorema Divergensi Gauss pada berbagai domain di EyA, serta sejalan dengan kajian Said dkk.
yang menegaskan bahwa domain bola merupakan pilihan yang tepat untuk verifikasi teorema ini karena simetri radialnya menghasilkan penyederhanaan komputasi yang signifikan.
Dalam penelitian ini, simetri tersebut termanifestasi dalam dua hal: pertama, divergensi medan vektor ya.
cu, yc, y.
= .
cu, yc, y.
menghasilkan nilai konstan sehingga integral volume mereduksi ke perkalian skalar terhadap volume domain.
kedua, pada permukaan bola berlaku .
= ycI sehingga nilai ya A ycuC = ycI konstan di seluruh permukaan, memungkinkan integral fluks dievaluasi hanya dengan mengalikan nilai tersebut dengan luas permukaan bola.
Temuan ini juga memperkuat pernyataan Siregar dan Wahyuni .
bahwa penerapan Teorema Divergensi pada medan vektor radial di ruang tiga dimensi menghasilkan identitas yang dapat diverifikasi secara eksak.
Berbeda dengan kajian numerik yang menyajikan hasil aproksimasi, verifikasi analitik yang disajikan dalam penelitian ini memperlihatkan kesetaraan yang tepat .
xact equalit.
antara integral Page 10 of 12 - Integrity Submission Submission ID trn:oid:::1:3600253146 Page 11 of 12 - Integrity Submission Submission ID trn:oid:::1:3600253146 volume dan integral fluks, sehingga memberikan konfirmasi yang kuat terhadap konsistensi teorema pada kasus yang dikaji.
Simpulan Penelitian ini telah berhasil memverifikasi Teorema Divergensi Gauss secara analitik pada domain bola berjari-jari ycI = 12 yccycn EyA untuk medan vektor ya.
cu, yc, y.
= .
cu, yc, y.
Perhitungan menunjukkan bahwa integral volume dari divergensi medan vektor, yaitu O _yaA .
u A y.
yccycO = 6912yuU, bernilai sama dengan integral fluks medan vektor melalui permukaan bola, yaitu O _ycI ya A ycuC yccycI = 6912yuU.
Kesetaraan eksak kedua nilai ini mengkonfirmasi berlakunya Teorema Divergensi Gauss pada domain dan medan vektor yang dikaji.
Secara lebih umum, hasil ini menunjukkan bahwa untuk medan vektor radial ya.
cu, yc, y.
= .
cu, yc, y.
pada domain bola berjari-jari R sembarang, berlaku O _yaA .
u A y.
yccycO = O _ycI ya A ycuC yccycI = 4yuUycIA, yang merupakan konsekuensi langsung dari simetri radial domain dan kekonstanan divergensinya.
Generalisasi ini menegaskan bahwa domain bola merupakan model geometri yang ideal untuk memperlihatkan konsistensi teorema secara analitik.
Untuk penelitian selanjutnya, disarankan agar verifikasi serupa dilakukan pada domain yang tidak memiliki simetri radial, seperti ellipsoid atau silinder, sehingga diperlukan transformasi koordinat dan parametrisasi permukaan yang lebih Selain itu, pengujian dengan medan vektor non-linear seperti ya.
cu, yc, y.
= .
cuA, ycA, ycA) atau medan dengan komponen campuran dapat memperkaya pemahaman tentang batas-batas penerapan teorema ini.
Pengembangan lebih lanjut juga dapat dilakukan dengan mengintegrasikan verifikasi komputasional menggunakan perangkat lunak matematika seperti MATLAB atau Python untuk mendukung pemahaman visual dan numerik secara bersamaan.
Daftar Pustaka