JMS.
Tahun.
Vol.
1 (No.
, pp.
Jurnal Matematika & Sains Kompleks YPP Al Fattah Siman Sekaran Lamongan BEBERAPA TEOREMA TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN KONTINU
DI RUANG METRIK KOMPAK
Ahmad Khairul Umam1*.
Ahmad IsroAoil2.
Pukky Tetralian B.
1,2,3
Program Studi Matematika Universitas Billfath Corresponding Author: ahmad.
umam@gmail.
Abstract The fixed point principle is very important in solving linear equation, ordinary differential equation, partial differential equation, and integral equation.
The famous fixed point theorem is Banach's fixed point theorem.
Kannan's fixed point theorem is generalisation of Banach's fixed point theorem.
This article discusses some theorems that generalisations from Kannan's fixed point theorem with continuity mapping.
Some theorems are discussed in this article guarantee the existence and uniqueness of a fixed point.
Keywords: Fixed Point.
KannanAos Mapping.
Compact Metric Space How to cite: Ahmad Khairul Umam.
Ahmad IsroAoil, & Pukky Tetralian B.
Beberapa Teorema Titik Tetap untuk Pemetaan Kontinu di Ruang Metrik Kompak.
JMS (Jurnal Matematika dan Sain.
, 1.
, pp.
PENDAHULUAN
Seiring perkembangan zaman, konsep titik tetap telah banyak dibahas oleh para Dalam mempelajari titik tetap, tidak lupa juga mempelajari tentang ruang Ruang metrik merupakan pasangan suatu himpunan dan fungsi jarak ycc dengan terpenuhinya beberapa aksioma.
Ruang metrik yang penting juga yaitu ruang metrik kompak.
Menurut (Bhardwaj, 2.
, suatu sub koleksi dari suatu cover terbuka yang setidaknya merupakan cover terbuka disebut sub cover.
Ruang kompak adalah ruang dimana setiap cover terbukanya memiliki sub cover berhingga.
Pemetaan yce di ruang metrik .
cU, yc.
disebut Kannan jika terdapat yu OO .
, .
sedemikian sehingga ycc.
, yce.
) O yuycc.
cu, yce.
) yuycc.
c, yce.
) untuk setiap ycu, yc OO ycU.
Menurut (Kannan, 1.
Jika X lengkap maka pemetaan Kannan memiliki titik tetap.
Pada makalah ini membahas beberapa teorema yang berkaitan dengan pemetaan Kannan yang kontinu.
Ruang metrik yang dipilih adalah ruang metrik
kompak yaitu ruang metrik dimana setiap cover terbukanya memiliki sub cover
Tujuan dan manfaat dari penelitian ini adalah untuk mengetahui teorema
E ISSN 2775-0671
P ISSN 2775-2631
Beberapa Teorem Titik .
titik tetap untuk pemetaan Kannan dan mengetahui beberapa teorema titik tetap pemetaan kontinu di ruang metrik kompak.
METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan penelitian studi pustaka.
Pelaksanaan penelitian ini dilakukan selama 1 tahun, yaitu dari bulan Agustus 2020 sampai bulan Juli 2021 di Lamongan.
Tahapan-tahapan dari penelitian ini yaitu: pencarian jurnal utama penelitian, pencarian beberapa pustaka yang relevan dengan penelitian, pembahasan tentang penelitian-penelitian sebelumnya yang berhubungan dengan penelitian ini, pembuktian teorema-teorema penelitian.
Pada penelitian ini tidak menggunakan data karena berupa studi pustaka.
Penelitian ini membahas tentang teorema-teorema baru.
Pembuktian teorema dilakukan guna memperkuat kebenaran dari teorema-teorema baru tersebut.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi 1.
Misalkan ycU = .
cU, yc.
dan ycU = .
cU, yc.
merupakan ruang metrik.
Pemetaan yce: ycU Ie ycU dikatakan kontinu pada suatu titik ycu0 OO ycU jika untuk setiap yuA > 0 terdapat yu > 0 sedemikian sehingga ycc.
, yce.
cu0 )) < yuA untuk setiap ycu yang memenuhi ycc.
cu, ycu0 ) < yu.
Pemetaan yce dikatakan kontinu di ycU jika yce kontinu disetiap titik pada ycU (Kreyszig.
Definisi 2.
Diberikan ruang metrik .
cU, yc.
, ya OC ycU, dan ye = .
u OO y.
adalah keluarga semua himpunan bagian terbuka dari ycU.
Keluarga ye dikatakan selimut terbuka untuk himpunan ya jika untuk setiap ycu OO ya terdapat yu OO ya sehingga ycu OO yayu (Muslikh, 2.
Definisi 3.
Diberikan ruang metrik .
cU, yc.
dan ya OC ycU.
Himpunan ya disebut himpunan kompak .
jika selimut terbuka untuk ya memuat sub-selimut berhingga yang masih menyelimuti ya (Muslikh, 2.
Definisi 4.
Diberikan ruang metrik .
cU, yc.
dan suatu pemetaan yce: ycU Ie ycU.
Titik ycu OO ycU disebut titik tetap yce jika ycu = yce.
(Takashi dan Hiroyuki, 2.
JMS (JurnalMatematika dan Sain.
Ahmad Khairul Umam.
Ahmad IsroAoil.
Pukky Tetralian B.
Definisi 5.
Misalkan ruang metrik .
cU, yc.
Pemetaan yce: ycU Ie ycU dinamakan pemetaan kontraksi, jika ada suatu bilangan real yca dengan 0 O yca < 1 sedemikian ycc.
, yce.
) O ycaycc.
cu, y.
OAycu, yc OO ycU (Kreyszig,1.
Teorema 1 (Titik Tetap Banac.
Misalkan .
cU, yc.
adalah ruang metrik lengkap.
Jika yce: ycU Ie ycU adalah pemetaan kontraksi pada ycU, maka yce mempunyai titik tetap yang tunggal (Kreyszig, 1.
Proposisi 1.
Diberikan ruang metrik .
cU, yc.
dan pemetaan kontinu yce O ycU Ie Ey.
Maka yce.
terbatas dan terdapat titik yca, yca OO ycU sedemikian sehingga yce.
= Inf yce.
dan yce.
= Sup yce.
ycuOOycU ycuOOycU Teorema 2.
Diberikan .
cU, yc.
adalah ruang metrik kompak dan yce O ycU Ie ycU adalah suatu pemetaan.
Jika ycc.
, yce.
) < ycc.
cu, y.
untuk semua ycu, yc OO ycU dengan ycu O yc, maka yce memiliki titik tetap tunggal (GoA rnicki, 2.
Teorema 3.
Diberikan .
cU, yc.
adalah ruang metrik kompak dan yce O ycU Ie ycU adalah suatu pemetaan kontinu.
Jika ycc.
, yce.
) < 2 .
cu, yce.
) ycc.
c, yce.
)] untuk semua ycu, yc OO ycU dengan ycu O yc, maka yce memiliki titik tetap tunggal.
Bukti Himpunan selang tertutup ya = .
adalah himpunan kompak.
Diberikan pemetaan kontinu yce O .
Ie .
dengan yce.
= yca dimana yca OO .
Karena yce adalah pemetaan kontinu maka ycc.
cu, yce.
) Ou 0, jadi pemetaan yci.
= ycc.
cu, yce.
) juga pemetaan kontinu.
Karena .
cU, yc.
adalah ruang metrik kompak dan pemetaan yci sama dengan ycc maka terdapat ycu OO ycU sehingga yci.
= Inf.
cu OO ycU}.
Akan dibuktikan bahwa pemetaan yce memiliki titik tetap.
Titik ycu OO ycU disebut titik tetap yce jika ycu = yce.
Misalkan ycu bukan titik tetap yce.
sehingga ycu O yce.
, .
cu, yce.
) ycc.
, yce.
])] = ycc.
cu, yce.
) ycc.
, yce.
]) ycc.
, yce.
]) < Nilai dari yce.
= yca dimana yca OO .
Karena yca OO .
, maka yce.
] = yce.
= yca.
Sehingga pertidaksamaan menjadi Volume 1.
No.
2 Agustus 2021, pp.
Beberapa Teorem Titik .
cu, yce.
) ycc.
, yce.
]) = ycc.
cu, yce.
) ycc.
ca, yc.
= ycc.
cu, yce.
) 0 < ycc.
cu, yce.
) ycc.
cu, yce.
) ycc.
, yce.
]) < = ycc.
cu, yce.
) dimana yce O ycU Ie ycU.
Menurut teorema 2 maka pemetaan yce memiliki titik tetap yang tunggal atau titik tetapnya bisa ditulis ycu = yce.
Hal ini kontradiksi dengan ycu O yce.
Jadi yce memiliki titik tetap yang tunggal.
Teorema 4.
Diberikan .
cU, yc.
adalah ruang metrik kompak dan yce O ycU Ie ycU adalah suatu pemetaan kontinu.
Jika ycc.
, yce.
) < yaycc.
cu, yce.
) yaAycc.
c, yce.
) yaycc.
cu, y.
untuk semua ycu, yc OO ycU dengan ycu O yc dimana ya, yaA, ya adalah bilangan positif yang memenuhi ya yaA ya = 1, maka yce memiliki titik tetap tunggal.
Bukti Himpunan selang tertutup ya = .
adalah himpunan kompak.
Diberikan pemetaan kontinu yce O .
Ie .
dengan yce.
= yca dimana yca OO .
Karena yce adalah pemetaan kontinu maka ycc.
cu, yce.
) Ou 0, jadi yci.
= ycc.
cu, yce.
) juga pemetaan kontinu.
Karena .
cU, yc.
adalah ruang metrik kompak dan pemetaan yci sama dengan ycc maka terdapat ycu OO ycU sehingga yci.
= Inf.
cu OO ycU}.
Akan dibuktikan bahwa pemetaan yce memiliki titik tetap.
Titik ycu OO ycU disebut titik tetap yce jika ycu = yce.
Misalkan ycu bukan titik tetap yce.
sehingga ycu O yce.
, ycc.
, yce.
]) < yaycc.
cu, yce.
) yaAycc.
, yce.
]) yaycc.
cu, yce.
) Nilai dari yce.
= yca dimana yca OO .
Karena yca OO .
, maka yce.
] = yce.
= yca.
Sehingga pertidaksamaan menjadi ycc.
, yce.
]) < yaycc.
cu, yce.
) yaAycc.
, yce.
]) yaycc.
cu, yce.
) = yaycc.
cu, yce.
) yaAycc.
ca, yc.
cu, yce.
) = yaycc.
cu, yce.
) 0 yaycc.
cu, yce.
) JMS (JurnalMatematika dan Sain.
Ahmad Khairul Umam.
Ahmad IsroAoil.
Pukky Tetralian B.
= yaycc.
cu, yce.
) yaycc.
cu, yce.
) Karena ya yaA ya = 1 dan ya, yaA, ya adalah bilangan positif, maka ya ya < 1.
Selanjutnya pertidaksamaan menjadi ycc.
, yce.
]) < yaycc.
cu, yce.
) yaycc.
cu, yce.
) = .
a y.
cu, yce.
) < ycc.
cu, yce.
) dimana yce O ycU Ie ycU.
Menurut teorema 2 maka pemetaan yce memiliki titik tetap yang tunggal atau titik tetapnya bisa ditulis ycu = yce.
Hal ini kontradiksi dengan ycu O yce.
Jadi yce memiliki titik tetap yang tunggal.
SIMPULAN DAN SARAN
Teorema titik tetap Kannan merupakan perluasan dari teorema titik tetap Banach.
Pada penelitian ini dibahas beberapa teorema perluasan dari teorema titik tetap Kannan dengan pemetaan kontinu.
Teorema titik tetap Banach menjamin eksistensi dan ketunggalan titik tetap suatu pemetaan yce: ycU Ie ycU jika ada suatu bilangan real yca dengan 0 O yca < 1 sedemikian sehingga ycc.
, yce.
) O ycaycc.
cu, y.
OAycu, yc OO ycU pada ruang metrik .
cU, yc.
yang lengkap.
Teorema titik tetap Kannan juga menjamin eksistensi dan ketunggalan titik tetap suatu pemetaan yce: ycU Ie ycU jika terdapat yu OO .
, .
sedemikian sehingga ycc.
, yce.
) O yuycc.
cu, yce.
) yuycc.
c, yce.
) untuk setiap ycu, yc OO ycU pada ruang metrik .
cU, yc.
yang lengkap.
Untuk kesimpulan dari hasil pembahasan yaitu: pertama, teorema 3 menjamin eksistensi dan ketunggalan titik tetap suatu pemetaan kontinu yce O ycU Ie ycU jika ycc.
, yce.
) < 2 .
cu, yce.
) ycc.
c, yce.
)] untuk semua ycu, yc OO ycU dengan ycu O yc pada ruang metrik .
cU, yc.
yang kompak.
Kedua, teorema 4 menjamin eksistensi dan ketunggalan titik tetap suatu pemetaan kontinu yce O ycU Ie ycU jika ycc.
, yce.
) < yaycc.
cu, yce.
) yaAycc.
c, yce.
) yaycc.
cu, y.
untuk semua ycu, yc OO ycU dengan ycu O yc dimana ya, yaA, ya adalah bilangan positif yang memenuhi ya yaA ya = 1 pada ruang metrik .
cU, yc.
yang kompak.
Saran dari penelitian ini adalah perlu lebih banyak lagi yang mempelajari Volume 1.
No.
2 Agustus 2021, pp.
Beberapa Teorem Titik .
tentang topik titik tetap.
Selain itu perlu juga mengaitkan secara langsung teorema titik tetap dengan aplikasinya.
DAFTAR RUJUKAN
Bhardwaj.
Rajput S.
Choudhary.
, & Yadava.
Some Fixed Point Theorems in Compact Metric Spaces.
Int.
Journal of Math.
Analysis, 2.
, 551555.
GoA rnicki.
Fixed Point Theorems for Kannan Type Mappings.
Journal of Fixed Point Theory and Applications, 19, 2147.
Kannan.
Some Results on Fixed Points - II.
The American Mathematical Monthly, 76, 405-408.
Kreyszig.
Introductory Functional Analysis with Aplication.
John Wiley and Sons.
Inc.
Canada.
Muslikh.
Analisis Real.
Malang.
UB Press.
Takashi.
, & Hiroyuki.
Introduction to Mathematical Science Model.
Tokyo.
Baifukan.
JMS (JurnalMatematika dan Sain.