JRMMAeJurnal Riset Mahasiswa Matematika.
Volume 5 .
Pages 205-210 Research Article Teorema Titik Tetap untuk Pemetaan Hybrid Diperumum di Ruang Hilbert atas R Firman Riansyah 1 Program Studi Tadris Matematika.
Fakultas Tarbiyah dan Ilmu Keguruan.
Institut Agama Islam Negeri Kendari.
Indonesia Article History Received 12 Januari 2026 Revised 13 Februari 2026 Accepted 23 Februari 2026 Published 28 Februari 2026 Copyright A 2026 by Authors.
Published by JRMM Group.
This is an open access article under the CC BY-SA License.
Abstract.
This researh investigates the existence of fixed points for generalized hybrid mappings in a Hilbert space in R.
Let C be a nonempty, closed, and convex subset of a Hilbert space in R, and let T : C Ie C be a generalized hybrid mapping.
It is shown that if there exists x OO C such that the sequence {T n .
} is bounded, then, by employing the Banach limit, it can be proven that T has a fixed point.
Furthermore, if for every sequence in C the difference between each element and its image under the mapping converges to zero and the sequence converges weakly to some element in C, then the weak limit element is a fixed point of T .
These results emphasize the crucial role of the Banach limit in ensuring the existence of fixed points for generalized hybrid mappings in Hilbert spaces in R.
Keywords: fixed point theorems.
generalized hybrid mapping.
Banach limit Abstrak.
Penelitian ini mengkaji eksistensi titik tetap bagi pemetaan Hybrid diperumum pada ruang Hilbert atas R.
Misalkan C adalah himpunan tak kosong, konveks, dan tertutup dalam ruang Hilbert atas R, serta T suatu pemetaan Hybrid diperumum.
Ditunjukkan bahwa apabila terdapat x OO C sehingga {T n .
terbatas, maka dengan menggunakan Limit Banach dapat dibuktikan bahwa T memiliki titik tetap.
Selain itu, jika untuk setiap barisan dalam C berlaku bahwa selisih antara elemen dan hasil pemetaannya menuju nol serta barisan tersebut konvergen lemah ke suatu elemen di C, maka elemen limit tersebut merupakan titik tetap dari T .
Hasil ini menegaskan peran penting Limit Banach dalam menjamin eksistensi titik tetap bagi pemetaan Hybrid diperumum di ruang Hilbert atas R.
Kata kunci: teorema titik tetap.
pemetaan hybrid diperumum.
limit Banach.
Pendahuluan Teori titik tetap merupakan salah satu teori yang mempunyai banyak aplikasi pada bidang lain diantaranya masalah Browder dan Goebel and Kirk mengembangkan teorema titik tetap pada pemetaan yang lebih umum dari pada pemetaan kontraksi, yaitu pemetaan nonekspansif.
Salah satu contoh pemetaan nonekspansif adalah pemetaan firmly nonexpansive .
, .
Pada penelitian .
menyatakan bahwa jika (X, .
ruang metrik dan T : X Ie X maka pemetaan T dikatakan nonekspansif jika untuk setiap x, y OO X berlaku d(T x.
T .
O d.
, .
Kohsaka and Takahashi dan Takahashi berturut-turut memperkenalkan suatu pemetaan nonlinear yang berbeda dari pemetaan nonekspansif yakni pemetaan nonspreading dan pemetaan Hybrid yang merupakan perumuman dari pemetaan firmly nonexpansive .
, .
Selanjutnya Kocourek et al.
memperkenal pemetaan Hybrid diperumum yang merupakan perumuman dari pemetaan nonekspansif, nonspreading, dan Hybrid .
Teorema titik tetap pada pemetaan nonlinear sangat erat kaitannya dengan barisan terbatas.
Conway.
menyatakan limit Banach merupakan suatu fungsional linear yang memetakan suatu barisan terbatas ke suatu bilangan real yang memenuhi tiga aksioma yaitu jika untuk setiap x, y OO EeO dengan x = .
n ) dan y = .
n ) memenuhi:
Ou 0 jika xn Ou 0, jika xn Ie Ee maka L.
= Ee.
L(S.
= L.
dengan S shift operator yang didefinisikan (S.
n = xn 1 , jika x adalah barisan konvergen maka L.
= lim xn .
Berdasarkan keterkaitan antara teorema titik tetap dan barisan terbatas dan kekonvergenan lemah barisan maka pada tulisan ini akan dibuktikan eksistensi teorema titik tetap pada pemetaan Hybrid diperumum di ruang Hilbert atas R dengan menggunakan limit Banach.
Metode Penelitian Penelitian ini merupakan penelitian yang didasarkan pada studi literatur yang bersifat teoritis.
Tahapan-tahapan penelitian ini sebagai berikut:
Mempelajari sifat-sifat berlaku di ruang Hilbert atas R, limit Banach, dan Lemma yang menghubungkan barisan terbatas, limit Banach, dan nilai minimum dari suatu Mempelajari barisan terbatas dan keterkaitannya dengan limit Banach untuk menyelidiki titik tetap pada pemetaan Hybrid diperumum di ruang Hilbert atas R.
Mempelajari kekonvergenan lemah suatu barisan dan keterkaitannya dengan limit Banach untuk menyelidiki titik tetap pada pemetaan Hybrid diperumum di ruang Hilbert atas R.
Hasil dan Pembahasan Beberapa sifat pada ruang Hilbert dan Definisi Limit Banach Bagian ini akan dipaparkan mengenai teorema titik tetap menggunakan limit Banach.
Sebelumnya, terlebih dahulu diberikan beberapa konsep tambahan yang akan aplikasikan dalam pembuktian eksistensi titik tetap di ruang Hilbert atas R .
, .
, .
Corresponding authorAos email: firmanriansyah@iainkendari.
DOI: https://doi.
org/10.
18860/JRMM.
41145 / p-ISSN: 2086-0382 | e-ISSN: 2477-3344 (BRIN | ISSN Porta.
Firman Riansyah Ae Teorema Titik Tetap untuk Pemetaan Hybrid Diperumum di Ruang Hilbert atas R Teorema 1 Diberikan H ruang Hilbert p atas R dengan inner product .
, .
dan norma Ou A Ou = .
, .
, maka berlaku Oux Oe yOu2 = OuxOu2 Oe 2x, y OuyOu2 OAx, y OO H.
Ouax .
Oe .
yOu2 = aOuxOu2 .
Oe .
OuyOu2 Oe a.
Oe .
Oux Oe yOu2 .
OAx, y OO H dan a OO R.
2z Oe y, z Oe w = Oux Oe wOu2 Ouy Oe zOu2 Oe Oux Oe zOu2 Oe Ouy Oe wOu2 OAw, x, y, z OO H.
Karena setiap ruang Hilbert merupakan ruang bernorma maka kita membahas beberapa sifat pada ruang bernorma, terkhusus pada barisan konvergen dan konvergen lemah pada ruang bernorma .
, .
, .
Definisi 1 Diberikan ruang bernorma (X.
Ou A O.
dan X A ruang dualnya.
Barisan .
n } di X dikatakan konvergen lemah ke x OO X jika untuk setiap f OO X A , limnIeO f .
n ) = f .
Barisan .
n } yang konvergen lemah ke x dinotasikan dengan xn NA x dan x disebut limit lemah barisan .
n }.
Hubungan antara barisan konvergen dan barisan konvergen lemah lebih lanjut dijelaskan pada teorema berikut.
Teorema 2 Diketahui X ruang bernorma dan barisan .
n } OI X.
Jika xn Ie x maka xn NA x.
GN .
= N n=1 OAx = .
n } OO EeO Berikut ini lemma mengenai eksistensi ketunggalan peminimum suatu fungsi dengan menghubungkan antara barisan terbatas di ruang Hilbert atas R dan limit Banach.
Lema 1 Diketahui H ruang Hilbert atas R.
C OI H himpunan konveks tertutup tak kosong, barisan .
n } terbatas di dalam H dan AA adalah limit Banach.
Jika g : C Ie R g.
= AA(Ouxn Oe zOu2 ).
OAz OO C maka terdapat dengan tunggal z0 OO C sehingga g.
0 ) = min.
: z OO C}.
Ruang Hilbert atas R yang terdapat himpunan C yang bersifat konveks, tertutup, dan tidak kosong dan diberikan suatu T yang memetakan setiap elemen di dalam C ke elemen lain yang juga berada di dalam C.
Apabila terdapat x OO C sehingga barisan {T n .
} terbatas, maka dengan menggunakan Lemma 1 dan Limit Banach dapat menjamin eksistensi titik tetap pada pemetaan tersebut.
Teorema 3 Setelah memperkenalkan beberapa sifat di ruang Hilbert atas R.
Selanjutnya, diberikan definisi limit Banach dapat ditemukan pada .
yang nantinya akan digunakan dalam pembuktian eksistensi titik tetap di ruang Hilbert atas Berikut ini akan diberikan definisi dan contoh dari limit Banach.
Diketahui H ruang Hilbert atas R.
C OI H himpunan konveks tertutup tak kosong dan pemetaan T : C Ie C.
Jika terdapat x OO C sehingga {T n .
} terbatas dan untuk suatu limit Banach AA berlaku AA({OuT n .
Oe T .
Ou2 }) O AA({OuT n .
Oe yOu2 }).
OAy OO C Definisi 2 maka T memiliki titik tetap.
Fungsional linear AA : EeO Ie R disebut limit Banach jika untuk setiap x, y OO EeO dan a OO R dengan x = .
n } dan y = .
n } memenuhi:
AA.
= a.
AA.
Jika xn Ou 0.
OAn OO N maka AA.
Ou 0.
AA.
= AA(S.
dengan S shift operator yang didefinisikan (S.
n = xn 1 .
Jika x adalah barisan konvergen maka AA.
= limnIeO xn .
Contoh 1 Bukti Untuk suatu Banach limit AA, didefinisikan pemetaan g : C Ie R dengan g.
= AA {OuT n .
Oe zOu2 }nOu0 .
OAz OO C.
Berdasarkan Lemma 1, terdapat tunggal z0 OO C sehingga g.
0 ) = min.
: z OO C}.
Di lain pihak, g T .
0 ) = AA {OuT n .
Oe T .
0 )Ou2 }nOu0 O AA {OuT n .
Oe z0 Ou2 }nOu0 = g.
0 ).
Didefinisikan:
AA : EeO Ie R x 7Ie lim GN .
OAx = .
n } OO EeO N IeO JRMM Ae Jurnal Riset Mahasiswa Matematika Jadi, g T .
0 ) O g.
0 ).
Karena z0 OO C merupakan elemen tunggal sehingga g.
0 ) = min.
: z OO C} dan T .
0 ) OO C, maka g.
0 ) O g T .
0 ) .
Karena g T .
0 ) O g.
0 ) dan Volume .
Issued .
Year 2026 Firman Riansyah Ae Teorema Titik Tetap untuk Pemetaan Hybrid Diperumum di Ruang Hilbert atas R g.
0 ) O g T .
0 ) , maka g.
0 ) = g T .
0 ) .
Karena z0 peminimum g dan T .
0 ) juga memberikan nilai minimum yang sama pada g, maka berdasarkan Lemma 1 berlaku T .
0 ) = z0 .
Dengan demikian.
T memiliki titik Berikut teorema yang mengaitkan ruang Hilbert dengan suatu pemetaan.
Teorema dibutuhkan dalam pembuktikan teorema titik tetap, terkhusus pada pemetaan nonliner di ruang Hilbert atas R.
{T n .
} terbatas maka T memiliki titik tetap.
Bukti Diketahui terdapat x OO C sehingga {T n .
} terbatas.
Karena {T n .
} terbatas maka, untuk setiap z OO C, {OuT n .
Oe zOu2 } terbatas.
Karena T pemetaan hybrid diperumum berarti terdapat .
OO R sehingga untuk setiap n OO N dan y OO C berlaku OuT n 1 .
Oe T .
Ou2 .
Oe )OuT n .
Oe T .
Ou2 Teorema 4 Diketahui H ruang Hilbert atas R.
Jika C OI H himpunan tak kosong dan pemetaan T : C Ie H maka untuk setiap x, y OO C berlaku OuT .
Oe T .
Ou2 O Oux Oe y Oe (T .
Oe T .
)Ou2 Oe Oux Oe yOu2 2x Oe y.
T .
Oe T .
2xOey.
T .
OeT .
= OuxOeT .
Ou2 Ouy OeT .
Ou2 Oe Oux Oe T .
Ou2 Oe Ouy Oe T .
Ou2 Oux Oe y Oe (T .
Oe T .
)Ou2 O Oux Oe T .
Ou2 Ouy Oe T .
Ou2 Oe 2x Oe T .
, y Oe T .
O OuT n 1 .
Oe yOu2 .
Oe )OuT n .
Oe yOu2 .
Dengan menggunakan limit Banach AA pada EeO diperoleh, untuk setiap y OO C berlaku AA({OuT n .
Oe T .
Ou2 }) = AA({OuT n .
Oe T .
Ou2 }) .
Oe )AA({OuT n .
Oe T .
Ou2 }) = AA({OuT n 1 .
Oe T .
Ou2 }) .
Oe )AA({OuT n .
Oe T .
Ou2 }) = AA({OuT n 1 .
Oe T .
Ou2 .
Oe )OuT n .
Oe T .
Ou2 }) Teorema Titik Tetap Pemetaan Hybrid diperumum O AA({OuT n 1 .
Oe yOu2 .
Oe )OuT n .
Oe yOu2 }) Bagian ini akan dipaparkan mengenai definisi pemetaan hybrid diperumum .
Lebih lanjut, dengan mempelajari keterkaitan antara barisan terbatas dan limit Banach akan diselidiki eksistensi titik tetap pada pemetaan hybrid diperumum di ruang Hilbert atas R.
= AA({OuT n 1 .
Oe yOu2 }) AA({.
Oe )OuT n .
Oe yOu2 }) = AA({OuT n 1 .
Oe yOu2 }) .
Oe )AA({OuT n .
Oe yOu2 }) = AA({OuT n .
Oe yOu2 }) Definisi 3 Diketahui H ruang Hilbert atas R dan C OI H himpunan tak kosong.
Pemetaan T : C Ie H dikatakan pemetaan hybrid diperumum jika terdapat .
OO R sehingga = AA({OuT n .
Oe yOu2 }) Jadi, untuk suatu limit Banach AA berlaku OuT .
Oe T .
Ou .
Oe )Oux Oe T .
Ou O OuT .
Oe yOu2 .
Oe )Oux Oe yOu2 , .
Oe )AA({OuT n .
Oe yOu2 }) OAx, y OO C.
Lebih lanjut, pemetaan hybrid diperumum dengan suatu .
OO R disebut (, )-hybrid diperumum.
Contoh 2 Pemetaan T : R Ie R dengan T .
= Oex.
OAx OO R.
Pemetaan T merupakan pemetaan hybrid diperumum dengan = 21 dan = 12 .
Berikut teorema eksistensi titik tetap dengan menggunakan keterkaitan barisan terbatas dan limit Banach.
AA({OuT n .
Oe T .
Ou2 }) O AA({OuT n .
Oe yOu2 }).
OAy OO C.
Dengan demikian, berdasarkan Teorema 3.
T memiliki titik tetap.
Kaitan Pemetaan hybrid Diperumum dan Kekonvergenan Lemah Barisan.
Bagian ini akan dipaparkan keterkaitan antara kekonvergenan lemah suatu barisan dan limit Banach yang akan digunakan untuk menyelidiki eksistensi titik tetap pada pemetaan hybrid diperumum di ruang Hilbert atas R.
Keterkaitan kekonvergenan lemah suatu barisan dan limit Banach dalam menjamin eksistensi titik tetap pada pemetaan hybrid diperumum dapat dilihat pada teorema berikut.
Teorema 5 Teorema 6 Diketahui H ruang Hilbert atas R.
C OI H himpunan konveks tertutup tak kosong dan T : C Ie C pemetaan hybrid diperumum.
Jika terdapat x OO C sehingga JRMM Ae Jurnal Riset Mahasiswa Matematika Diketahui H ruang Hilbert atas R.
C OI H himpunan konveks tertutup tak kosong dan T : C Ie C pemetaan Volume .
Issued .
Year 2026 Firman Riansyah Ae Teorema Titik Tetap untuk Pemetaan Hybrid Diperumum di Ruang Hilbert atas R 2 lim xn Oe u, u Oe T .
O AA({Ouxn Oe uOu2 }) hybrid diperumum.
Jika untuk setiap barisan .
n } OI C, xn Oe T .
n ) Ie 0 dan terdapat u OO C sehingga xn NA u maka u = T .
nIeO Ni AA({Ouxn Oe uOu2 }) AA({Ouu Oe T .
Ou2 }) 2.
O AA({Ouxn Oe uOu2 }) Ni AA({Ouxn Oe uOu2 }) AA({Ouu Oe T .
Ou2 }) O AA({Ouxn Oe uOu2 }).
Bukti Diambil sebarang barisan .
n } OI C dengan xn Oe T .
n ) Ie 0 dan xn NA u.
Karena H ruang Hilbert p R maka H ruang Banach atas R terhadap Ou A Ou = A.
Karena xn NA u maka {Ouxn O.
Karena xn Oe T .
n ) Ie 0 maka berdasarkan Teorema 3.
xn Oe T .
n ) NA 0.
Karena xn Oe T .
n ) Ie 0 maka {Ouxn Oe T .
n )O.
Karena {Ouxn O.
dan {Ouxn Oe T .
n )O.
terbatas maka {OuT .
n )O.
Karena {Ouxn O.
, {OuT .
n )O.
, dan {Ouxn Oe T .
n )O.
terbatas maka .
n }, {T .
n )}, dan .
n Oe T .
n )} terbatas.
Akibatnya, untuk setiap z OO C, {Ouxn Oe zOu2 } dan {OuT .
n ) Oe zOu2 } terbatas.
Lebih lanjut, {T .
n ) Oe xn , xn Oe T .
} juga terbatas.
Karena T pemetaan hybrid diperumum maka terdapat .
OO R sehingga OAn OO N, y OO C.
OuT n 1 .
Oe T .
Ou2 .
Oe )OuT n .
Oe T .
Ou2 O OuT n 1 .
Oe yOu2 .
Oe )OuT n .
Oe yOu2 .
Dengan menggunakan limit Banach AA pada EeO diperoleh AA({OuT .
n ) Oe T .
Ou2 .
Oe )Ouxn Oe T .
Ou2 }) Jadi,AA({Ouu Oe T .
Ou2 }) O 0.
Karena AA({Ouu Oe T .
Ou2 }) O 0 maka Ouu Oe T .
Ou2 O 0.
Karena Ouu Oe T .
Ou2 O 0 maka Ouu Oe T .
Ou2 = 0.
Akibatnya, u = T .
Beberapa Pemetaan Bentuk Khusus Pemetaan Hybrid Diperumum dan Sifat-sifatnya Pada bagian ini akan dipaparkan mengenai pemetaan nonekspansif, nonspreading, dan hybrid .
, .
, .
, .
Pemetaan nonekspansif merupakan pemetaan hybrid diperumum dengan = 1 dan = 0, pemetaan nonspreading merupakan pemetaan hybrid diperumum dengan = 2 dan = 1, dan pemetaan hybrid merupakan pemetaan hybrid diperumum dengan = 32 dan = 12 .
Dengan demikian teorema-teorema eksistensi titik tetap pada pemetaan hybrid diperumum dengan menggunakan limit Banach berlaku juga pada pemetaan nonekspansif, nonspreading, dan hybrid.
Akibat 1 O AA({OuT .
n ) Oe uOu .
Oe )Ouxn Oe uOu }) Ni AA({OuT .
n ) Oe xn xn Oe T .
Ou2 }) .
Oe )AA({Ouxn Oe T .
Ou2 }) O AA({OuT .
n ) Oe uOu2 }) .
Oe )AA({Ouxn Oe uOu2 }) Ni AA({OuT .
n ) Oe xn Ou2 }) AA({Ouxn Oe T .
Ou2 }) Diketahui H ruang Hilbert atas R.
C OI H himpunan konveks tertutup tak kosong dan pemetaan T : C Ie C Jika terdapat x OO C sehingga {T n .
} terbatas maka T memiliki titik tetap.
2AA({T .
n ) Oe xn , xn Oe T .
}) .
Oe )AA({Ouxn Oe T .
Ou2 }) O AA({OuT .
n ) Oe xn Ou2 }) AA({Ouxn Oe uOu2 }) 2AA({T .
n ) Oe xn , xn Oe .
) .
Oe )AA({Ouxn Oe uOu2 }) Ni lim OuT .
n ) Oe xn Ou2 AA({Ouxn Oe T .
Ou2 }) nIeO 2 lim T .
n ) Oe xn , xn Oe T .
Oe )AA({Ouxn Oe T .
Ou2 }) nIeO Akibat 2 Diketahui H ruang Hilbert atas R.
C OI H himpunan konveks tertutup tak kosong dan pemetaan T : C Ie C Jika terdapat x OO C sehingga {T n .
} terbatas maka T memiliki titik tetap.
O lim OuT .
n ) Oe xn Ou2 AA({Ouxn Oe uOu2 }) nIeO 2 lim T .
n ) Oe xn , xn Oe u .
Oe )AA({Ouxn Oe uOu2 }) nIeO Ni .
AA({Ouxn Oe T .
Ou2 }) 2.
Oe )AA({Ouxn Oe T .
Ou2 }) O .
AA({Ouxn Oe uOu2 }) 2.
Oe )AA({Ouxn Oe uOu2 }) Ni AA({Ouxn Oe T .
Ou2 }) O AA({Ouxn Oe uOu2 }).
Jadi.
AA({Ouxn Oe T .
Ou2 }) O AA({Ouxn Oe uOu2 }).
Lebih lanjut.
AA({Ouxn Oe T .
Ou2 }) O AA({Ouxn Oe uOu2 }) Ni AA({Ouxn Oe u u Oe T .
Ou2 }) O AA({Ouxn Oe uOu2 }) Ni AA({Ouxn Oe uOu2 }) AA({Ouu Oe T .
Ou2 }) 2AA(.
n Oe u, u Oe T .
}) O AA({Ouxn Oe uOu2 }) Akibat 3 Diketahui H ruang Hilbert atas R.
C OI H himpunan konveks tertutup tak kosong dan pemetaan T : C Ie C Jika terdapat x OO C sehingga {T n .
} terbatas maka T memiliki titik tetap.
Akibat 4 Diketahui H ruang Hilbert atas R.
C OI H himpunan konveks tertutup tak kosong dan pemetaan T : C Ie C nonekspansif.
Jika untuk setiap barisan .
n } OI C, xn Oe T .
n ) Ie 0 dan terdapat u OO C sehingga xn NA u maka u = T .
Ni AA({Ouxn Oe uOu2 }) AA({Ouu Oe T .
Ou2 }) JRMM Ae Jurnal Riset Mahasiswa Matematika Volume .
Issued .
Year 2026 Firman Riansyah Ae Teorema Titik Tetap untuk Pemetaan Hybrid Diperumum di Ruang Hilbert atas R Akibat 5 Diketahui H ruang Hilbert atas R.
C OI H himpunan konveks tertutup tak kosong dan pemetaan T : C Ie C Jika untuk setiap barisan .
n } OI C, xn Oe T .
n ) Ie 0 dan terdapat u OO C sehingga xn NA u maka u = T .
Akibat 6 Diketahui H ruang Hilbert atas R.
C OI H himpunan konveks tertutup tak kosong dan pemetaan T : C Ie C Jika untuk setiap barisan .
n } OI C, xn Oe T .
n ) Ie 0 dan terdapat u OO C sehingga xn NA u maka u = T .
tribusi secara substansial terhadap penelitian ini dan telah menyetujui versi akhir naskah untuk diterbitkan Deklarasi Penggunaan AI atau Teknologi Berbasis AI Model ChatGPT versi 4 digunakan secara terbatas untuk membantu penyesuaian tata bahasa akademik, dan konsistensi gaya penulisan sesuai standar jurnal.
Semua analisis matematis, formulasi, dan interpretasi hasil dilakukan sepenuhnya oleh penulis.
Deklarasi Konflik Kepentingan Penulis menyatakan tidak ada konflik kepentingan yang dapat memengaruhi hasil atau interpretasi dari penelitian ini.
Ucapan Terima Kasih Penelitian ini tidak menerima pendanaan eksternal.
Kesimpulan Kesimpulan dari eksistensi titik tetap untuk pemetaan Hybrid diperumum di ruang Hilbert adalah sebagai berikut:
Ruang Hilbert atas real yang terdapat himpunan C yang bersifat konveks, tertutup, dan tidak kosong.
Selanjutnya, diberikan suatu T pemetaan hybrid diperumum yang memetakan setiap elemen di dalam C ke elemen lain yang juga berada di dalam C.
Apabila terdapat x OO C sehingga barisan {T n .
} terbatas, maka dengan menggunakan Limit Banach dapat disimpulkan bahwa pemetaan tersebut memiliki titik tetap, yaitu suatu elemen yang dipetakan ke dirinya sendiri oleh pemetaan Ruang Hilbert atas real yang terdapat himpunan C yang bersifat konveks, tertutup, dan tidak kosong.
Selanjutnya, diberikan suatu T pemetaan hybrid diperumum yang memetakan setiap elemen di dalam C ke elemen lain yang juga berada di dalam C.
Apabila untuk setiap barisan elemen di dalam C berlaku bahwa selisih antara setiap elemen barisan dengan hasil pemetaannya konvergen ke nol, dan barisan tersebut konvergen lemah ke suatu elemen di dalam C, maka dengan menggunakan Limit Banach dapat disimpulkan bahwa elemen itu merupakan titik tetap dari pemetaan tersebut.
Pemetaan nonekspansif merupakan pemetaan hybrid diperumum dengan = 1 dan = 0, pemetaan nonspreading merupakan pemetaan hybrid diperumum dengan = 2 dan = 1, dan pemetaan hybrid merupakan pemetaan hybrid diperumum dengan = 32 dan = 12 , sehingga teorema-teorema eksistensi titik tetap pada pemetaan hybrid diperumum dengan menggunakan limit Banach juga berlaku pada pemetaan nonekspansif, nonspreading, dan hybrid.
Untuk penelitian selanjutnya dapat diselidiki teorema Ergodic untuk pemetaan hybrid diperumum di ruang Hilbert atas real.
Pernyataan Kontribusi Penulis (CRediT) Firman Riansyah:
Konseptualisasi.
Metodologi.
PenulisanAeDraf Awal.
Analisis Formal.
Penulis berkonJRMM Ae Jurnal Riset Mahasiswa Matematika Ketersediaan Data Seluruh data yang digunakan dalam penelitian ini bersifat simbolik dan teoretis, disusun oleh penulis berdasarkan contohcontoh dalam literatur standar analisis fungsional.
Tidak ada dataset eksternal yang digunakan.
Kode komputasi atau ilustrasi simbolik dapat diberikan atas permintaan kepada penulis korespondensi melalui alamat surel yang tertera pada Daftar Pustaka