JURNAL TRIGONOMETRI
VOL.
3 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
SOLUSI ANALITIK SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
FRAKSIONAL LINIER DENGAN ORDE FRAKSIONAL
BERBEDA MELALUI TRANSFORMASI LAPLACE
Rohasnita.
Z1*.
Erdawati Nurdin2 1,2 Prodi Pendidikan Matematika.
Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau.
Pekanbaru.
Indonesia *Korespondensi: Email:12210524536@students.
uin-suska.
Abstrak Persamaan diferensial fraksional merupakan perluasan dari persamaan diferensial klasik yang memungkinkan orde turunan berupa bilangan riil, sehingga relevan untuk memodelkan sistem yang memiliki sifat memori dan Artikel ini bertujuan untuk memperoleh solusi analitik sistem persamaan diferensial fraksional linier dengan orde fraksional yang berbeda pada setiap variabel.
Kontribusi utama penelitian ini adalah perumusan solusi analitik sistem persamaan diferensial fraksional linier orde berbeda menggunakan transformasi Laplace dengan turunan fraksional Caputo.
Melalui penerapan transformasi Laplace, sistem diferensial fraksional diubah menjadi sistem aljabar dalam domain transformasi yang dapat diselesaikan secara sistematis menggunakan kaidah Cramer, kemudian dikembalikan ke domain waktu melalui invers transformasi Laplace.
Beberapa contoh disajikan untuk mengilustrasikan efektivitas pendekatan yang diusulkan.
Secara matematis, hasil penelitian ini memberikan kerangka analitik yang terstruktur untuk penyelesaian sistem persamaan diferensial fraksional linier dengan orde berbeda dan dapat menjadi dasar bagi pengembangan teori maupun aplikasi lanjutan pada sistem dinamik Kata kunci: Persamaan Diferensial Fraksional.
Transformasi Laplace.
Solusi Analitik.
PENDAHULUAN
Sistem persamaan diferensial memainkan peran penting dalam menggambarkan berbagai fenomena dinamika pada bidang sains, teknik, dan Dalam banyak sistem nyata, dinamika perilaku tidak hanya ditentukan oleh keadaan saat ini, tetapi juga dipengaruhi oleh riwayat Karakteristik ini dikenal sebagai efek memori atau hereditar dan sering muncul pada sistem dengan interaksi nonlokal dalam waktu.
Persamaan diferensial fraksional merupakan generalisasi dari persamaan diferensial klasik yang memungkinkan orde turunan berupa bilangan riil positif.
Keunggulan utama pendekatan fraksional terletak pada kemampuannya merepresentasikan efek memori secara lebih akurat dibandingkan model berorde bulat.
Oleh karena itu, sistem persamaan diferensial fraksional banyak digunakan dalam pemodelan dinamika kompleks, seperti anomali difusi, sistem viskoelastik, dan sistem kontrol fraksional.
Dalam artikel ini, perhatian difokuskan pada sistem persamaan diferensial fraksional linier dengan orde pecahan yang berbeda pada setiap variabel.
Perbedaan orde pecahan tersebut mencerminkan heterogenitas dinamika memori dalam komponen sistem.
JURNAL TRIGONOMETRI VOL.
3 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
sehingga menuntut pendekatan analitik yang sistematis untuk memperoleh Secara umum, bentuk matematis dari sistem persamaan diferensial linier dapat dinyatakan sebagai berikut:
Dtx.
= Ax.
, x.
= x0 .
dan u.
OO Eyn.
Persamaan diferensial fraksional merupakan persamaan diferensial dengan orde riil positif.
Dengan rincian komponen sebagai berikut:
= [ 2 ] OO Eyn Vektor ini menyatakan keadaan sistem pada waktu t, di mana notasi (.
menunjukkan bahwa ycu.
adalah vektor kolom yang terdiri dari variabelvariabel dependen sistem.
Kemudian yc1 .
= [ 2 ] OO Eyn Vektor ini merepresentasikan masukan luar, kendali, atau gangguan eksternal yang memengaruhi dinamika sistem.
Selanjutnya yca11 ya = .
caycnyc ] = [ U yca1ycu yca2ycu U ]OOEy ycaycuycu Matriks ini merupakan matriks konstanta riil yang merepresentasikan hubungan linier dan interaksi antar variabel keadaan dalam sistem.
Sistem persamaan diferensial linier klasik pada Persamaan .
merupakan fondasi utama dalam analisis dinamika sistem.
Dalam perkembangannya, sistem ini digunakan sebagai kerangka dasar untuk membangun sistem persamaan diferensial fraksional .
Perubahan mendasar terjadi pada operator turunan yayc , di mana orde turunan bilangan bulat .
= .
digeneralisasi menjadi orde riil positif memenuhi yuycn 0 < yuycn O 1.
Generalisasi ini memungkinkan sistem untuk menangkap fenomena, di mana perubahan variabel pada waktu t tidak hanya dipengaruhi oleh kondisi saat ini, tetapi juga oleh seluruh riwayat masa lalu sistem.
Sistem klasik tetap menjadi acuan penting karena pada saat semua orde yuycn = 1, sistem fraksional akan kembali menjadi sistem linier klasik.
Oleh karena itu.
JURNAL TRIGONOMETRI VOL.
3 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
pemahaman mendalam terhadap matriks A dan struktur vektor masukan u .
pada model klasik sangat krusial sebelum melakukan ekspansi ke domain kalkulus fraksional.
Bentuk umum dari sistem persamaan diferensial fraksional linier adalah sebagai berikut:
, x.
= x0 .
menyatakan operator turunan fraksional.
Ada beberapa definisi dari operator turunan fraksional .
Salah satu yang cukup dikenal adalah operator turunan fraksional Caputo, yang didefinisikan sebagai:
dimana k Oe 1 < < k,k OO N.
Solusi dari sistem .
dengan Dt adalah operator turunan Caputo telah diberikan dalam beberapa literatur.
Pada artikel ini, diselesaikan sistem persamaan diferensial fraksional .
dalam artian 1,2,a ,n, i tak perlu sama dengan j untuk j = 1,2,a ,n adalah operator turunan fraksional Caputo dengan menggunakan transformasi Laplace.
Penelitian ini mengelaborasi dari yang telah diteliti oleh Odibat.
Z .
Dalam beberapa dekade terakhir, sistem persamaan diferensial fraksional telah menarik perhatian besar karena kemampuannya dalam memodelkan efek memori dan sifat hereditas secara lebih akurat.
Namun, perlu dicatat bahwa sebagian besar studi sebelumnya umumnya mengasumsikan penggunaan orde fraksional yang sama () untuk seluruh variabel dalam sistem .
istem homoge.
Asumsi ini sering kali didasarkan pada upaya penyederhanaan analisis matematis.
Berbeda dengan pendekatan tersebut, artikel ini mengkaji sistem dengan orde fraksional yang berbeda .
uycn )pada setiap variabel keadaan.
Hal ini didasari oleh realitas bahwa dalam sistem yang kompleks, setiap komponen sering kali memiliki karakteristik memori atau laju peluruhan yang tidak seragam.
Sebagai contoh, dalam sistem biologi atau sirkuit listrik yang heterogen, satu variabel mungkin berubah dengan karakteristik orde.
u1 ), sementara variabel lainnya mengikuti orde .
u2 ).
Dalam artikel ini akan diselesaikan sistem persamaan diferensial fraksional orde berbeda yang berbentuk:
Dtx.
= Ax.
, x.
= x0 .
, dimana Dti,i = 1,2,a ,n adalah operator turunan fraksional Caputo dengan menggunakan transformasi Laplace.
JURNAL TRIGONOMETRI
VOL.
3 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
Penting untuk ditekankan bahwa dalam model ini, setiap komponen sistem memiliki orde fraksional yang dapat berbeda satu sama lain, di mana notasi yuycn .
ntuk i = 1, 2, .
, .
akan digunakan secara konsisten di seluruh bagian artikel ini untuk merujuk pada orde fraksional dari masing-masing variabel keadaan.
Berdasarkan latar belakang tersebut, penelitian ini bertujuan untuk merumuskan solusi analitik pada sistem persamaan diferensial fraksional linier yang memiliki orde berbeda pada setiap variabel keadaannya.
Kebaruan utama dalam penelitian ini terletak pada fokus heterogenitas orde fraksional .
uycn ), yang secara signifikan memberikan fleksibilitas lebih besar dalam memodelkan fenomena kompleks dibandingkan pendekatan orde tunggal .
yang lazim ditemukan dalam berbagai literatur.
Artikel ini memposisikan diri sebagai pengembangan dan pelengkap terhadap penelitian yang dilakukan oleh Odibat, di mana jika Odibat lebih menekankan pada aspek teoretis dasar sistem fraksional, artikel ini secara eksplisit menyajikan formulasi umum solusi sistem fraksional linier orde berbeda dengan mengintegrasikan metode transformasi Laplace dan aturan Cramer secara Dengan demikian, diharapkan hasil penelitian ini dapat memberikan kerangka kerja matematis yang lebih aplikatif bagi para praktisi dalam menyelesaikan masalah dinamika sistem yang melibatkan variabel dengan karakteristik memori yang tidak seragam.
LANDASAN TEORI
Beberapa fungsi yang berperan penting dalam pembahasan sistem persamaan diferensial fraksional linier adalah fungsi Gamma, fungsi Beta dan fungsi Mittag-Leffler.
Penyelesaian sistem ini melibatkan fungsi Mittag-Leffler sebagai generalisasi fungsi eksponensial, yang didukung oleh fungsi Gamma sebagai dasar perhitungan koefisien pada orde fraksional.
Kombinasi keduanya memungkinkan representasi solusi analitik yang akurat dalam menangkap dinamika sistem yang memiliki efek memori.
Definisi 2.
Fungsi Gamma dinyatakan sebagai e.
, didefinisikan sebagai Definisi 2.
Fungsi Beta didefinisikan sebagai dan p,q OO R, dimana p > 0 dan q > 0.
Definisi 2.
Fungsi Mittag-Leffler satu parameter didefinisikan sebagai dimana > 0 dan z OO C.
JURNAL TRIGONOMETRI
VOL.
3 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
Definisi 2.
Fungsi Mittag-Leffler dua parameter didefinisikan sebagai dengan > 0.
A > 0 dan z OO C.
Untuk turunan dari fungsi Mittag-Leffler, berlaku .
Kaidah Cramer adalah metode aljabar linier yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yaAycu = L menggunakan determinan.
Dalam penyelesaian sistem persamaan diferensial fraksional, kaidah ini menjadi instrumen krusial setelah dilakukan transformasi Laplace.
Transformasi Laplace mengubah operator turunan fraksional yang kompleks menjadi pangkat aljabar dalam domain -s.
Akibatnya, sistem diferensial berubah menjadi sistem persamaan aljabar linier dalam bentuk B.
= L.
Kaidah Cramer memungkinkan penyelesaian variabel Xj.
secara individual tanpa harus melakukan inversi matriks seluruhnya.
Penggunaan Kaidah Cramer bukan sekadar alat bantu hitung, melainkan jembatan metodologis yang memungkinkan sistem fraksional yang heterogen diubah menjadi solusi analitik yang terstruktur, yang pada akhirnya mempermudah penentuan ekspresi solusi dalam domain waktu menggunakan fungsi Mittag-Leffler.
Dalam artikel ini metode yang digunakan adalah kaidah Cramer.
Kaidah ini digunakan karena memungkinkan penentuan solusi sistem persamaan aljabar secara eksplisit ketika koefisien matriks bersifat non-singular, sehingga mendukung perumusan solusi analitik sistem persamaan diferensial fraksional hasil transformasi Laplace.
Implementasi metode ini diberikan berikut ini Ax = b, .
dimana Anyn adalah matriks non singular dengan Jika det A 6= 0, solusi dari .
diberikan sebagai berikut dimana Ai adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke-i matriks A dengan vektor b.
Turunan biasa yang biasa kita kenal memiliki orde turunan dalam bentuk bilangan bulat positif.
Dalam artikel ini akan diperkenalkan turunan fraksional yang ordenya dalam bentuk bilangan riil positif berupa pecahan.
Salah satu turunan fraksional yang digunakan yaitu turunan fraksional yang dikembangkan oleh Caputo menggunakan transformasi Laplace.
JURNAL TRIGONOMETRI
VOL.
3 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
Definisi 2.
Misalkan f.
adalah fungsi sedemikian sehingga Turunan fraksional Caputo orde dari fungsi f.
didefinisikan sebagai dengan k Oe 1 < < k,k OO N.
Definisi 2.
Misalkan f.
adalah suatu fungsi dari t.
Transformasi Laplace dari f.
, dinyatakan dengan F.
atau L.
], didefinisikan sebagai .
asalkan integral tersebut ada.
Definisi 2.
Konvolusi dari dua buah fungsi yang kontinu f.
dan g.
didefinisikan sebagai berikut O t f.
O g.
= O0 yce.
c Oe yu.
yccyua dimana simbol * menyatakan operator konvolusi.
Teorema 2.
Jika transformasi Laplace dari fungsi f.
dan g.
adalah F.
dan G.
maka Bukti.
Misalkan a = t Oe E, maka Oyc Oeycyua yccyua O yce.
c Oe yu.
yccyua =O yce.
yce Oeycyca yccyca O yci.
yce = F.
JURNAL TRIGONOMETRI VOL.
3 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
Teorema 2.
Misalkan L.
] = F.
dan fraksional Caputo, maka L[Dtf.
] = sF.
Oe Xs(Oe.
Dt.
Oe.
Bukti.
Dengan menggunakan Teorema 2.
8 diperoleh Teorema adalah operator turunan .
Transformasi Laplace dari perkalian fungsi Bukti.
Bukti teorema ini menggunakan formula .
yang buktinya akan diberikan kemudian.
Dari formula .
JURNAL TRIGONOMETRI
VOL.
3 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
Selanjutnya Dengan menggunakan persamaan .
, diperoleh:
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa:
Terlebih dahulu akan dibuktikan bahwa:
Dan .
Misalkan:
= .
m, maka f.
= .
m Ie f.
= 1.
Dxf.
= m.
mOe1 Ie Dxf.
= m.
Dx2f.
= m.
Oe .
mOe2 Ie Dx2f.
= m.
Oe .
Dx3f.
= m.
Oe .
Oe .
mOe3 Ie Dx3f.
= m.
Oe .
Oe .
Dengan menggunakan Deret Maclaurin, yaitu JURNAL TRIGONOMETRI VOL.
3 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
Kemudian.
Dari persamaan .
JURNAL TRIGONOMETRI
VOL.
3 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
Dengan demikian diperoleh:
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Perhatikan kembali sistem persamaan .
Misalkan Persamaan .
dapat ditulis menjadi .
Dengan syarat awal:
= ycu10 , ycu2 .
= ycu20 .
A , ycuycu .
= ycuycu0 .
Dengan melakukan transformasi Laplace pada .
, diperoleh yc 1 ycU1 .
Oe yc 1Oe1 ycu1 .
= yca11 ycU1 .
yca12 ycU2 .
U yca1ycu ycUycu .
, yc 2 ycU2 .
Oe yc 2Oe1 ycu2 .
= yca21 ycU1 .
yca22 ycU2 .
U yca2ycu ycUycu .
U yc ycu ycUycu .
Oe yc ycuOe1 ycuycu .
= ycaycu1 ycU1 .
ycaycu2 ycU2 .
U ycaycuycu ycUycu .
Kemudian dapat ditulis dalam bentuk matriks:
= L.
Dengan melakukan transformasi Laplace pada .
, diperoleh:
= x10, x2.
= x20, a , xn.
= xn0.
JURNAL TRIGONOMETRI
VOL.
3 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
Misalkan B.
adalah matriks non singular, maka dengan menggunakan aturan Cramer, diperoleh , untuk j = 1,2,a ,n .
dimana Bj.
adalah matriks yang dibentuk dengan mengganti kolom ke-j dari matriks B.
dengan vektor L.
Dari persamaan .
Proses pencarian solusi analitik ini dimulai dengan menerapkan transformasi Laplace pada setiap komponen sistem untuk mengonversi operator diferensial fraksional menjadi ekspresi aljabar dalam domain -s.
Setelah transformasi dilakukan, persamaan-persamaan tersebut disusun ke dalam sebuah sistem matriks karakteristik yang memisahkan variabel keadaan dari parameter input dan kondisi awalnya.
Melalui representasi matriks ini, aturan Cramer kemudian diterapkan sebagai instrumen utama untuk mengisolasi setiap variabel secara eksplisit, sehingga memudahkan identifikasi bentuk determinan yang siap untuk diinversi kembali ke domain waktu.
Contoh 3.
Tentukan solusi dari sistem .
dimana a OO R.
Berdasarkan solusi yang diperoleh pada Contoh 3.
1, terdapat beberapa poin penting mengenai perilaku sistem yang dipengaruhi oleh penggunaan orde Karakteristik Solusi Mittag-Leffler: Berbeda dengan sistem diferensial orde bulat yang menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi eksponensial, sistem ini menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi tipe Mittag-Leffler.
Fungsi ini secara matematis menjembatani perilaku antara peluruhan eksponensial .
etika yu Ie .
dan peluruhan hukum pangkat atau power-law .
etika yu Ie Efek Memori dan Hereditas: Penggunaan turunan Caputo dengan orde 0 < yuycn O 1 menunjukkan adanya sifat non-lokalitas.
Artinya, nilai variabel keadaan pada waktu t tidak hanya ditentukan oleh kondisi sesaat, tetapi juga dipengaruhi oleh akumulasi riwayat masa lalu sistem.
Semakin kecil nilai yuycn , semakin kuat pengaruh "ingatan" sistem tersebut terhadap perilaku dinamikanya.
Fleksibilitas Dinamika: Dengan adanya variasi orde yu1 dan yu2 pada variabel yang berbeda, sistem menunjukkan tingkat fleksibilitas yang lebih tinggi.
Variabel dengan orde yang lebih rendah akan mengalami perubahan transien yang lebih lambat namun memiliki efek peluruhan jangka panjang yang lebih persisten dibandingkan variabel dengan orde yang lebih tinggi.
Hal ini membuktikan bahwa model fraksional mampu menangkap JURNAL TRIGONOMETRI VOL.
3 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
kompleksitas sistem nyata yang tidak dapat diakomodasi oleh model linear Dengan menerapkan transformasi Laplace terhadap persamaan .
Persamaan .
dapat ditulis menjadi:
Maka:
Dengan menggunakan Teorema 2.
10, diperoleh:
Selanjutnya.
Dengan menggunakan Teorema 2.
10, diperoleh:
Contoh 3.
Tentukan solusi dari sistem .
Hasil penyelesaian pada Contoh 3.
2 menunjukkan fenomena unik di mana setiap variabel keadaan ycuycn .
memiliki perilaku dinamik yang berbeda meskipun berada dalam satu sistem matriks yang sama.
Perbedaan karakter ini disebabkan secara langsung oleh variasi orde fraksional yuycn :
Kecepatan Respon Transien Variabel dengan orde yuycn yang lebih kecil cenderung menunjukkan perubahan yang sangat tajam pada awal waktu .
c Ie .
, namun kemudian JURNAL TRIGONOMETRI VOL.
3 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
mengalami perlambatan laju perubahan.
Sebaliknya, variabel dengan orde yang mendekati 1 menunjukkan transisi yang lebih halus dan gradual, menyerupai karakteristik sistem linear klasik.
Efek Memori yang Heterogen Dalam sistem ini, setiap variabel memiliki "daya ingat" atau efek heriditas yang tidak seragam terhadap kondisi masa lalunya.
Orde yuycn yang lebih rendah menyimpan informasi sejarah sistem secara lebih kuat .
ifat nonlokalitas tingg.
Hal ini tercermin dalam solusi fungsi Mittag-Leffler, di mana variabel dengan orde kecil akan meluruh lebih lambat dalam jangka panjang .
eavy-taile.
dibandingkan variabel dengan orde yang mendekati bilangan bulat.
Representasi dalam Domain Laplace Secara aljabar, perbedaan yuycn menyebabkan polinomial karakteristik pada penyebut solusi domain -s .
aitu det(B.
)) memiliki pangkat pecahan yang tidak seragam.
Implikasi fisisnya adalah setiap variabel memiliki profil stabilitas dan redaman yang unik.
Hal ini memungkinkan model untuk menangkap fenomena di mana satu komponen sistem mungkin mencapai titik kesetimbangan lebih cepat daripada komponen lainnya, meskipun keduanya saling berinteraksi dalam satu matriks sistem A.
Untuk memudahkan melihat perbedaan karakter solusi antar variabel akibat perbedaan orde fraksional, dapat dilihat pada tabel dibawah ini Tabel 1.
Perbedaan Karakter Solusi Antar Variabel Akibat Perbedaan Orde Fraksional Parameter Analisis Orde Rendah .
Ie.
Orde Tinggi .
Ie.
Respon Awal Sangat cepat / Instan Gradual / Halus Kuat (Non-lokalitas Lemah (Mendekati sifat Efek Memori Laju Konvergensi Meluruh lambat Meluruh (Power-la.
(Eksponensia.
Bentuk Solusi Dominasi fungsi Mittag- Mendekati Leffler Dengan menerapkan transformasi Laplace terhadap persamaan .
Oex.
= (Oe2 Oe .
OesOe1/2y.
= .
Oe s1/.
Y .
OesOe1/2z.
= 4Y .
Oe s1/.
JURNAL TRIGONOMETRI
VOL.
3 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
Persamaan .
, .
dapat ditulis menjadi:
Maka:
Dengan menggunakan Teorema 2.
10, diperoleh:
= exp(Oe2.
x0 Selanjutnya Dengan menggunakan Teorema 2.
10, diperoleh:
Selanjutnya.
Dengan menggunakan Teorema 2.
10, diperoleh:
KESIMPULAN
Penelitian ini menunjukkan bahwa transformasi Laplace merupakan pendekatan yang efektif untuk memperoleh solusi analitik sistem persamaan diferensial fraksional linier dengan orde fraksional yang berbeda.
Dengan mengubah sistem diferensial fraksional menjadi sistem aljabar dalam domain transformasi, solusi dapat diturunkan secara sistematis menggunakan kaidah Cramer dan selanjutnya dinyatakan kembali dalam domain waktu melalui invers transformasi Laplace yang melibatkan fungsi MittagAeLeffler.
Secara matematis, hasil penelitian ini memberikan kontribusi berupa formulasi solusi analitik yang terstruktur bagi sistem persamaan diferensial fraksional linier dengan orde berbeda, serta memperkaya kerangka teori dalam analisis sistem dinamika fraksional.
Metode yang dikembangkan berpotensi diterapkan pada berbagai permasalahan pemodelan yang melibatkan dinamika memori, seperti sistem viskoelastik, anomali difusi, dan sistem kontrol fraksional.
Penyelesaian dari sistem persamaan diferensial fraksional orde berbeda x.
= x0, , 0 < i O 1, dimana i Dt ,i = 1,2,a ,n dengan Dt adalah operator turunan fraksional Caputo adalah JURNAL TRIGONOMETRI VOL.
3 NO.
E-ISSN : 3048-3220 (Media Onlin.
dan Bj.
adalah matriks yang dibentuk dengan mengganti kolom ke-j dari matriks B.
dengan vektor L.
Pembahasan dalam artikel ini dibatasi pada sistem persamaan diferensial linier dengan turunan pecahan Caputo dan orde pecahan yang memenuhi 0 < yuycn O 1.
Pengembangan lebih lanjut dapat diarahkan pada kajian sistem nonlinier, orde fraksional yang lebih tinggi, atau penggunaan definisi turunan fraksional lainnya.
Gambar 1.
Visualisasi Penyelesaian Masalah Persamaan Linear Orde Berbeda REFERENSI