Zeta Ae Math Journal Volume 7 No.
Juni 2022 - November 2022
ISSN: 2459-9948
e-ISSN: 2579-5864 Penerapan Kombinatorik pada Persamaan Diophantine Linier AAolailliyyin1.
Rica Amalia2.
Tony Yulianto3 Universitas Islam Madura, alailliyyin@gmail.
Universitas Islam Madura, ricaamalia5@gmail.
Universitas Islam Madura, toniyulianto65@gmail.
DOI 10.
31102/zeta.
ABSTRACT
In this paper we apply combinatoric principle on linear diophantine equation.
The method being used on this research is theoritic method.
Generally, the linear diophantine equation is a polynomial equation Ocycuycn=1 ycaycn ycuycn = yca, where ycaycn O 0 and yca integer.
The form of equation being solved in this paper is linear diophantine equation with ycaycn = 1, ycn = 1,2.
A , ycu.
As for the solution of this equation is limited to natural numbers and whole numbers.
By using the combinatoric principle, we got the number of solution of these linear diophantine equation which is the combination ya.
caOe1, ycuOe.
for natural numbers solution and ya.
ca ycu Oe 1, ycu Oe .
for whole numbers solution.
Keywords: linear diophantine equation, combinatoric, natural numbers, whole numbers ABSTRAK Pada penelitian ini diterapkan prinsip kombinatorik pada persamaan diophantine Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah metode penelitian teoritik.
Secara umum, persamaan diophantine linier adalah persamaan polinomial Ocycuycn=1 ycaycn ycuycn = yca, dimana ycaycn O 0 dan b bilangan bulat.
Bentuk persamaan yang diselesaikan pada penelitian ini adalah persamaan diophantine linier dengan ycaycn = 1, ycn = 1,2.
A , ycu.
Adapun penyelesaian persamaan diophantine ini dibatasi untuk bilangan asli dan bilangan cacah.
Setelah diuraikan dan dilakukan percobaan-percobaan, diperoleh jumlah penyelesaian diophantine linier tersebut adalah ya.
caOe1, ycuOe.
untuk penyelesaian bilangan asli dan ya.
ca ycu Oe 1, ycu Oe .
untuk penyelesaian bilangan cacah.
Kata Kunci: persamaan diophantine linier, kombinatorik, bilangan asli, bilangan cacah Zeta Ae Math Journal Volume 7 No.
Juni 2022 - November 2022
ISSN: 2459-9948
e-ISSN: 2579-5864
PENDAHULUAN
Persamaan diophantine linier dibuat oleh seorang matematikawan asal Yunani bernama Diophantus pada abad ketiga.
Diophantus menulis sebuah risalah yang disebut AuArithmeticaAy yang merupakan buku paling awal tentang aljabar (Yesilyurt, 2.
Persamaan Diophantine persamaan aljabar yang dicari solusi rasional atau Persamaan aljabar adalah sebuah persamaan yang hanya melibatkan ekspresi polinomial dengan satu atau lebih variabel.
Jika koefisien dari polinomial tersebut adalah bilangan rasional maka solusinya harus bilangan rasional.
Begitu pula jika koefisien dari polinomial tersebut bilangan bulat maka solusinya harus bilangan bulat juga (Yesilyurt, 2.
Persamaan Diophantine dibagi menjadi dua, yaitu persamaan diophantine linier dan persamaan diophantine non linear.
Persamaan diophantine linier memiliki persamaan umum ycaycu ycayc = yca, dengan .
ca, yc.
merupakan koefisien, .
cu, y.
merupakan variabel dan yca merupakan konstanta.
Matematikawan pertama yang mendapatkan solusi dari persamaan diophantine linier ycaycu ycayc = yca adalah Brahmagupta .
dengan menggunakan notasi yang rumit (Yesilyurt, 2.
Persamaan Diophantine non linear adalah persamaan Diophantine yang variabelnya berpangkat lebih dari satu, misalkan yca1 ycu12 yca2 ycu22 U ycaycu ycuycu2 = yca (Alfalinisa'i, 2.
Suganda et al .
membahas persamaan Diophantine non linear dalam bentuk ycu ycu yc ycu = yc ycu .
Secara khusus untuk ycu=2 maka semua solusinya disebut dengan tripel Pada penelitian ini penulis menyelesaikan persamaan diophantine linier dengan ycu variabel yaitu ycu1 ycu2 U ycuycu = yca dengan ycuycn dan yca adalah bilangan asli atau bilangan cacah.
Adapun metode yang digunakan adalah metode kombinatorik yakni prinsip perkalian, prinsip penjumlahan, permutasi, dan kombinasi.
2 Persamaan Diophantine Non Linear Persamaan Diophantine non Linear adalah persamaan Diophantine yang variabelnya berpangkat lebih dari satu.
Misalnya yce.
cu1 , ycu2 .
A , ycuyco ) = yca1 ycu1 2 yca2 ycu2 2 U ycaycu ycuycu 2 , maka yce.
cu1 , ycu2 .
A , ycuyco ) = ycu disebut persamaan Diophantine non Linear (Alfalinisa'i, 2.
Suganda, dkk .
membahas persamaan Diophantine non linear dalam bentuk ycu ycu yc ycu = yc ycu .
Secara khusus untuk ycu = 2 maka semua solusinya disebut dengan tripel phytagoras.
Dan bentuk-bentuk persamaan Diophantine non linear terus berkembang.
Teorema 2.
Persamaan Diophantine 13ycu 17yc = yc 2 tidak mempunyai solusi bilangan bulat non negatif.
Akan ditunjukkan persamaan Diophantine 13ycu 17yc = yc 2 tidak mempunyai solusi (Sugandha, et al.
, 2.
Corolary 1.
Persamaan Diophantine 13ycu 17yc = yc 4 tidak mempunyai solusi bilangan bulat non negatif (Sugandha, et al.
, 2.
Kombinatorik Kombinatorik adalah cabang Matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek tanpa harus mengenumerasi terlebih dahulu.
Solusi yang ingin kita peroleh dari kombinatorik adalah jumlah cara objek-objek Terdapat dua kaidah dasar untuk dapat memecahkan banyak masalah persoalan menghitung dalam kombinatorial.
Kaidah tersebut adalah kaidah perkalian .
ule of produc.
dan kaidah penjumlahan .
ule of su.
(Rahayuningsih, 2.
METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur mengenai Persamaan Diophantine dan Kombinatorial.
Selanjutnya melakukan analisis pada persamaan Diophantine.
Persamaan Diophantine selanjutnya melakukan penarikan kesimpulan pada percobaan yang telah dilakukan.
TINJAUAN PUSTAKA
1 Persamaan Diophantine Persamaan diophantine pertama kali ditemukan oleh seorang ahli matematika yang produktif pada akhir zaman yunani yang bernama Diophantus.
merupakan orang yang pertama kai mengoperasikan .
cu Oe .
cu Oe .
tanpa referensi secara geometri.
Identitas seperti .
cu y.
2 = ycu 2 2ycuyc yc 2 juga dibuktikan secara aljabar (Alfalinisa'i, 2.
HASIL PENELITIAN
Pada penelitian ini diperoleh hasil penyelesaian persamaan diophantine linier dengan bentuk ycu1 ycu2 U ycuycu = yca untuk yca OO bilangan bulat, ycuycn OO bilangan asli atau ycuycn OO bilangan cacah dan ycn = 1,2.
A , ycu Pada pembahasan pertama, diasumsikan bahwa ycuycn OO bilangan asli.
Terdapat tiga kasus untuk permasalahan ini yaitu:
Jika ycu > yca maka tidak ada penyelesaian yang memenuhi asumsi awal yaitu ycuycn OO bilangan asli.
Jika ycu = yca maka penyelesaian yang memenuhi adalah ycuycn = 1 untuk ycn = 1,2.
A , ycu sehingga terdapat 1 penyelesaian.
2 Macam-macam Persamaan Diophantine 1 Persamaan Diophantine Linear Persamaan Diophantine Linear adalah semua persamaan yang variabelnya berpangkat satu dan setiap koefisien peubahnya berupa bilangan bulat.
Contoh 7ycu 18yc = 208 (Pramadita, 2.
Zeta Ae Math Journal Volume 7 No.
Juni 2022 - November 2022
ISSN: 2459-9948
e-ISSN: 2579-5864 Jika ycu < yca maka penyelesaian yang memenuhi dapat dituangkan pada Teorema 1 sebagai berikut.
Teorema 1.
Banyaknya penyelesaian persamaan diophantine linier ycu1 ycu2 U ycuycu = yca untuk ycuycn OO Ei, ycu < yca, dan ycu Ou 2 adalah kombinasi ya.
ca Oe 1, ycu Oe Bukti:
Cara pertama untuk membuktikan teorema ini adalah dengan mendaftarkan penyelesaian persamaan diophantine linier untuk nilai ycu dan yca tertentu sebagai Untuk ycu = 2 atau ycu1 ycu2 = yca, penyelesaian .
cu1 , ycu2 ) diuraikan sebagai berikut:
Jika yca = 3 maka nilai .
cu1 , ycu2 ) yaitu .
, .
Ie 2 penyelesaian Jika yca = 4 maka nilai .
cu1 , ycu2 ) yaitu .
, .
, .
Ie 3 penyelesaian Jika yca = 5 maka nilai .
cu1 , ycu2 ) yaitu .
, .
, .
, .
Ie 4 penyelesaian Untuk ycu=3 ycu1 ycu2 ycu3 = yca, penyelesaian .
cu1 , ycu2 , ycu3 ) diuraikan sebagai Jika yca = 4 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 ) yaitu .
,1,.
= 3 penyelesaian 2!1! Jika yca = 5 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 ) yaitu .
,1,.
,2,.
2!1!
1!2!
Jika yca = 7 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 ) yaitu .
,1,1,.
,1,2,.
,1,2,.
,2,2,.
2!1!
,1,2,.
3!1!
2!2!
= 12
35 penyelesaian = 12
4!1!
3!2!
= 10
} 15 penyelesaian Jika yca = 8 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 , ycu5 ) yaitu .
,1,1,1,.
,1,1,2,.
4!1!
3!1!1!
= 20 35 penyelesaian .
,1,2,2,.
= 10 }
2!3!
Dari percobaan di atas, diperoleh pola jumlah penyelesaian persamaan diophantine linier ycu1 ycu2 U ycuycu = yca untuk ycuycn OO Ei, ycu < yca yaitu pada Tabel 1.
Tabel 1.
Banyaknya penyelesaian persamaan ycu1 ycu2 U ycuycu = yca untuk ycuycn OO Ei, yea < yca 15 penyelesaian .
,3,.
2!1!
Untuk ycu = 4 atau ycu1 ycu2 ycu3 ycu4 = yca, penyelesaian .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 ) diuraikan sebagai Jika yca = 5 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 ) yaitu .
,1,1,.
= 4 penyelesaian 3!1! Jika yca = 6 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 ) yaitu .
,1,1,.
2!1!1!
,1,1,2,.
,2,.
2!2!
,1,1,1,.
} 6 penyelesaian 2!1!1! .
,2,2,.
Ie = 1 } Untuk ycu = 5 atau ycu1 ycu2 ycu3 ycu4 ycu5 = yca, penyelesaian .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 , ycu5 ) diuraikan sebagai Jika yca = 6 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 , ycu5 ) yaitu .
,1,1,1,.
= 5 penyelesaian 4!1! Jika yca = 7 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 , ycu5 ) yaitu = 6 10 penyelesaian 1!1!1! 1!1!1! 1!3! 3!1! .
,1,3,.
,2,.
Ie = 1 Jika yca = 7 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 ) yaitu .
,1,.
,2,.
= 12 20 penyelesaian =4 } Jika yca = 8 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 ) yaitu .
,1,1,.
2!1!
2!1!
2!1!1!
,2,2,.
Jika yca = 6 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 ) yaitu .
,1,.
,2,.
3!1!
} 10 penyelesaian ycu 3Oo2 4Oo3 5Oo4Oo3 6Oo5 Oe1 ca Oe .
ca Oe .
ca Oe .
ca Oe .
ca Oe .
4Oo3Oo2 5Oo4Oo3 6Oo5Oo4 7Oo6Oo5 5Oo4Oo3Oo2 6Oo5Oo4Oo3 7Oo6Oo5Oo4 ca Oe .
ca Oe .
ca Oe .
ca Oe .
Zeta Ae Math Journal Volume 7 No.
Juni 2022 - November 2022
ISSN: 2459-9948
e-ISSN: 2579-5864 Untuk ycu = 4 atau ycu1 ycu2 ycu3 ycu4 = yca, penyelesaian .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 ) diuraikan sebagai Jika yca = 0 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 ) yaitu .
,0,0,.
Ie 1 penyelesaian Jika yca = 1 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 ) yaitu .
,0,0,.
Ie = 4 penyelesaian 3!1! Jika yca = 2 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 ) yaitu Berdasarkan Tabel 1 di atas, diperoleh banyaknya penyelesaian persamaan diophantine linier ycu1 ycu2 U ycuycu = yca untuk ycu secara umum yaitu .
ca Oe .
ca Oe .
A .
ca Oe .
cu Oe .
) = .
cuOe.
! .
caOe.
caOe.
caOe.
cuOe.
caOeyc.
! .
cuOe.
caOeyc.
! .
caOe.
! = .
cuOe.
caOeyc.
! = ya.
ca Oe 1, ycu Oe .
Oa Pembahasan berikutnya adalah ketika ycuycn OO bilangan cacah.
Maka penyelesaian persamaan diophantine linier ycu1 ycu2 U ycuycu = yca diuraikan dalam Teorema 2 berikut Teorema 2.
Banyaknya penyelesaian persamaan diophantine linier ycu1 ycu2 U ycuycu = yca untuk ycuycn OO EiO dan ycu Ou 2 adalah kombinasi ya.
ca ycu Oe 1, ycu Oe .
Bukti:
Cara pertama untuk membuktikan teorema ini adalah dengan melakukan percobaan-percobaan sebagai Untuk ycu = 2 atau ycu1 ycu2 = yca, penyelesaian .
cu1 , ycu2 ) diuraikan sebagai berikut:
Jika yca = 0 maka nilai .
cu1 , ycu2 ) yaitu .
Ie 1 Jika yca = 1 maka nilai .
cu1 , ycu2 ) yaitu .
, .
Ie 2 penyelesaian Jika yca = 2 maka nilai .
cu1 , ycu2 ) yaitu .
, .
, .
Ie 3 penyelesaian Untuk ycu=3 ycu1 ycu2 ycu3 = yca, penyelesaian .
cu1 , ycu2 , ycu3 ) diuraikan sebagai Jika yca = 0 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 ) yaitu .
,0,.
Ie 1 penyelesaian Jika yca = 1 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 ) yaitu .
,0,.
= 3 penyelesaian 2!1! Jika yca = 2 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 ) yaitu .
,0,.
,1,.
2!1!
1!2!
,0,0,.
,0,2,.
,1,.
1!1!1!
,0,1,.
,2,.
,1,.
,1,.
1!2!
,0,1,.
2!1!
1!1!1!
2!1!1!
= 12 20 penyelesaian .
,1,1,.
1!3!
3!1!
2!1!1!
,0,2,.
2!2!
1!2!1!
= 12
35 penyelesaian = 12 ,1,1,.
Ie = 1 } Untuk ycu = 5 atau ycu1 ycu2 ycu3 ycu4 ycu5 = yca, penyelesaian .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 , ycu5 ) diuraikan sebagai Jika yca = 0 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 , ycu5 ) yaitu .
,0,0,0,.
Ie 1 penyelesaian Jika yca = 1 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 , ycu5 ) yaitu .
,0,0,0,.
= 5 penyelesaian 4!1! Jika yca = 2 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 , ycu5 ) yaitu .
,0,0,0,.
,0,0,1,.
4!1!
3!2!
= 10
} 15 penyelesaian Jika yca = 3 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 , ycu5 ) yaitu .
,0,0,0,.
= 6 10 penyelesaian } 10 penyelesaian =4 } Jika yca = 4 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 ) yaitu .
,0,0,.
} 6 penyelesaian 3!1! .
,1,1,.
,1,.
Ie = 1 Jika yca = 4 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 ) yaitu .
,0,.
2!1!
2!2!
Jika yca = 3 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 , ycu4 ) yaitu .
,0,0,.
Jika yca = 3 maka nilai .
cu1 , ycu2 , ycu3 ) yaitu .
,0,.
2!1!
3!1!
,0,0,1,.
4!1!
3!1!1!
= 20 35 penyelesaian .
,0,1,1,.
= 10 }
2!3!
Dari percobaan di atas, diperoleh pola jumlah penyelesaian persamaan diophantine linier ycu1 ycu2 U ycuycu = yca untuk ycuycn OO EiO yaitu pada Tabel 2.
15 penyelesaian = .
Zeta Ae Math Journal Volume 7 No.
Juni 2022 - November 2022
ISSN: 2459-9948
e-ISSN: 2579-5864
KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan di atas diperoleh diophantine linier ycu1 ycu2 U ycuycu = yca Kombinasi ya.
ca Oe 1, ycu Oe .
ycuycn OO bilangan asli, ycu < yca, dan ycu Ou 2 Kombinasi ya.
ca ycu Oe 1, ycu Oe .
untuk ycuycn OO bilangan cacah dan ycu Ou 2 Tabel 2.
Banyaknya penyelesaian persamaan ycu1
ycu2 U ycuycu = yca untuk ycuycn OO EiO
3Oo2
4Oo3
4Oo3Oo2
5Oo4Oo3
5Oo4
6Oo5
6Oo5Oo4
7Oo6Oo5
5Oo4Oo3Oo2
6Oo5Oo4Oo3
7Oo6Oo5Oo4
DAFTAR PUSTAKA