JURNAL FOURIER | Oktober 2024.
Vol.
No.
2, 76-86
DOI: 10.
14421/fourier.
ISSN 2252-763X
E-ISSN 2541-5239
Pemodelan SITR Pada Penyebaran Penyakit Tuberculosis Dengan Penggunaan Masker Medis Dan Treatment Thessa Rahma Donita1 .
Irma Suryani2 Program Studi Matematika.
Fakultas Sains dan Matematika.
Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jalan Soebrantas No.
155 Pekanbaru.
Indonesia.
Korespondensi.
Irma Suryani.
Email: irma.
suryani@uin-suska.
id@uin-suska.
Abstrak Penelitian ini mengembangkan model SITR pada penyakit tuberculosis dengan menambahkan penggunaan masker medis dan treatment.
Populasi dibagi menjadi Susceptible without mask (S) yaitu individu rentan tidak menggunakan masker medis.
Susceptible With Mask .
cIycA ) yaitu individu rentan dengan menggunakan masker medis.
Infected without mask (I) yaitu individu terinfeksi yang tidak menggunakan masker medis.
Infected with mask .
aycA ) yaitu individu terinfeksi yang menggunakan masker medis.
Treatment (T) yaitu jumlah individu yang melakukan pengobatan.
Recovered (R) yaitu jumlah individu sembuh.
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik penyakit, bilangan reproduksi dasar ycI0 , analisis kestabilan dan simulasi numerik.
Berdasarkan hasil penelitian hasil uji kestabilan titik ekuilibrium menggunakan nilai eigen diperoleh bahwa jika ycI0 < 1 maka titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal, artinya populasi akan bebas dari penyakit tuberculosis.
Jika ycI0 > 1 maka titik ekuilibrium endemik penyakit stabil asimtotik lokal, artinya pada keadaan ini dalam populasi akan selalu terdapat penyakit tuberculosis.
Kata Kunci Bilangan Reproduksi Dasar.
Kestabilan Model.
Nilai Eigen.
Titik Ekuilibrium.
Tuberculosis Abstract This research develops the SITR model for tuberculosis by adding the use of medical masks and treatment.
The population is divided into Susceptible without mask .
cI), namely Susceptible individuals who do not use medical masks.
Susceptible With Mask .
cIycA ) namely Susceptible individuals who use medical masks.
Infected without mask .
namely infected individuals who do not use medical masks.
Infected with mask .
aycA ) is infected individuals who use medical masks.
Treatment .
cN) is the number of individuals who received treatment.
Recovered .
cI) is the number of recovered individuals.
This research aims to determine the disease-free and endemic disease equilibrium points, the basic reproduction number R 0 , stability analysis and numerical simulations.
Based on the research results, the results of the equilibrium point stability test using eigenvalues show that if ycI0 < 1 then the disease-free equilibrium point is locally asymptotically stable, meaning the population will be free from tuberculosis.
If ycI0 > 1 means the disease endemic equilibrium point is locally asymptotically stable, meaning that in this situation the population will always have tuberculosis.
Keywords: Basic Reproduction Number.
Model Stability.
Eigenvalue.
Equilibrium Point.
Tuberculosis.
Pendahuluan Penyakit yang menular adalah suatu penyakit yang dapat transmisi/berpindah .
ransportable diseas.
atau penyakit yang mungkin ditimbulkannya komunikasi .
enyakit menula.
, penyakit yang disebabkan oleh infeksi karena adanya mikroorganisme pathogen, termasuk virus, bakteri, jamur, protozoa, organisme multiseluler, dan protein abnormal disebut prion .
Salah satu contoh penyakit menular yaitu Tuberculosis.
Tuberculosis (TBC atau TB) adalah penyakit bakteri menular yang berpotensi serius disebabkan oleh bakteri .
A 2024 JURNAL FOURIER
Versi online via w.
Pemodelan SITR Pada Penyebaran Penyakit Tuberculosis dengan Penggunaan Masker Medis dan Treatment .
Berdasarkan data World Health Organization (WHO) dikatakan pada tahun 2014 penderita TB di Indonesia adalah negara ke -4 dengan jumlah pasien tuberculosis terbanyak di dunia setelah India.
Cina, dan Afrika Selatan.
Cepatnya penyebaran TB di Indonesia pada tahun 2019 WHO (World Health Organizatio.
melaporkan bahwa Indonesia menduduki menjadi posisi ketiga dengan kasus tuberculosis (TB) tertinggi di dunia setelah India dan Tiongkok sebanyak 5,6 juta pria, 3,2 juta Wanita dan 1,2 juta anak anak yang terinfeksi TB.
Kasus semacam ini menunjukkan bahwa penyakit tuberculosis perlu mendapat perhatian lebih atau setidaknya dilakukan pencegahan.
Pemodelan matematika adalah proses mengkontruksi model matematika untuk menggambarkan keadaan dinamik suatu sistem.
Pemodelan Matematika digunakan di berbagai bidang seperti ilmu Kesehatan.
Tuberculosis adalah salah satu penyakit yang dapat dikontruksikan model matematikanya.
Hal ini dapat dijadikan salah satu cara untuk membantu mengetahui kejadian penularan Tuberculosis dan membantu tenaga medis dalam pengambilan keputusan menghadapi penyebaran TB.
Pemodelan matematika sudah banyak dilakukan dan dikembangkan sebelumnya oleh beberapa Pada penelitian Irma Suryani & Mela Yuenita.
membahas tentang analisis kestabilan model MSEIR penyebaran penyakit difteri dengan saturated incidence rate yang hasilnya diperoleh bahwa titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik lokal artinya untuk waktu yang cukup lama penyakit difteri akan punah dari populasi.
Selanjutnya pada penelitian Daniel Chandra T.
& Roudhotillah D.
tentang analisis kestabilan model penyebaran penyakit tuberculosis menggunakan MSEITR yang hasilnya bahwa titik ekuilibrium bebas penyakit dalam keadaan stabil asimtotik lokal dan titik ekuilibrium endemiknya dalam keadaan stabil asimtotik lokal yang menyatakan bahwa penyakit tuberculosis tidak akan menjadi Selanjutnya peneliti Nur Inayah, dkk.
mengembangkan model SIR pada penyebaran penyakit tuberculosis yang hasilnya menunjukkan bahwa nilai ycI0 < 1.
Hal ini berarti bahwa penyakit tuberculosis dalam waktu mendatang akan menghilang.
Namun jika nilai parameter dengan menggunakan masker medis dikurangi dan nilai parameter kontak penyebaran penyakit tuberculosis dinaikkan, maka nilai ycI0 > 1 berarti penyakit tuberculosis akan menjadi endemik Berdasarkan pemaparan di atas, pada penelitian ini dilakukan pengembangan model SIR pada artikel .
dengan menambahkan kompartemen populasi yang melakukan pengobatan (T) yang menghasilkan model SITR.
Dari model ini akan dicari titik ekuilibrium bebas penyakit, bilangan reproduksi dasar, dan titik ekuilibrium endemik.
Selanjutnya dicari analisis kestabilan bebas penyakit dan endemik Landasan Teori Tuberculosis Tuberculosis (TB atau TBC) merupakan salah satu penyakit kronis yang berbahaya bagi Kesehatan.
Dalam hal ini.
TBC terjadi akibat infeksi bakteri yang menyerang organ pernapasan paru-paru.
Penyakit ini menyebar melalui udara ketika penderita batuk, bersin, atau berbicara.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Secara umum, definisi nilai eigen dan vector eigen adalah sebagai berikut:
Definisi 1.
Jika sebuah matriks ycu ycu ycu adalah ya, maka sebuah vector tak nol ycu pada Rn disebut vector eigen dari A jika yaycu, merupakan sebuah kelipatan scalar dari x.
itu adalah yaycu = yuIycu Untuk beberapa skalar .
Skalar disebut nilai eigen dari ya, dan ycu dikatakan sebagai vektor eigen yang sesuai dengan .
Persamaan Differensial dan Sistem Persamaan Differensial Secara umum, definisi persamaan differensial adalah sebagai berikut:
Definisi 2.
Suatu persamaan dikatakan Persamaan diferensial jika didalamnya terdapat satu turunan atau diferensial dari satu fungsi yang tidak diketahui .
Bentuk umum persamaan differensial:
JURNAL FOURIER .
13 76-86
Thessa Rahma Donita
cu, yc, yccyc ycc 2 yc
yccycu yc
, 2 ,A
]=0
yccycu yccycu yccycu ycu yccyc ycc2 yc yccycu yc F ini disebut fungsi real yang mempunyai .
yaitu ycu, yc, yccycu , yccycu 2 , yccycu ycu Sistem persamaan differensial merupakan kumpulan dari beberapa persamaan diferensial.
Secara matematis dapat dibentuk sistem persamaan diferensial, sebagai berikut:
yeoN .
= yeN.
c, yc.
Titik Ekuilibrium dan Analisis Kestabilan Definisi 3.
Titik ycuI yun ycI ycu merupakan titik ekuilibrium jika yce.
cuI ) = 0.
Selanjutnya akan dijelaskan definisi dan teorema kestabilan di titik ekuilibrium.
Definisi 4.
Titik ekuilibrium x yang memenuhi yce.
= 0 Jika:
Stabil jika untuk setiap yuA > 0 terdapat yu.
uA) > 0, sedemikian sehingga untu setiap solusi ycu.
yang memenuhi Anycu.
c, ycu0 ) Oe ycuI An < yu yang mengakibatkan Anycu.
c, ycu0 ) Oe ycuI An < yuA, untuk setiap yc Ou 0 Stabil asimtotik jika ycuI stabil dan terdapat yu1 > 0, sehingga Anycu.
c, ycu0 ) Oe ycuI An < yu1 yang mengakibatkan lim Anycu.
c, ycu0 ) Oe ycuI An = 0 ycIeO Tidak stabil jika titik ekuilibrium tidak terpenuhi .
Kestabilan titik ekuilibrium ycu dapat ditentukan dengan memperhatikan nilai-nilai eigen, yaitu yuycn = 1,2.
A , ycu yang dapat diperoleh dari persamaan karakteristik.
Teorema 5.
Diberikan persamaan diferensial ycuN = yaycu dengan A adalah matriks berukuran ycu ycu ycu memiliki k nilai eigen yang berbeda yuI1 , yuI2 .
A , yuIycu dengan yco O ycu.
Titik ekuilibrium ycuN dikatakan stabil asimtotik, jika hanya jika ycIyce .
uIycn ) < 0 untuk setiap ycn = 1,2.
A , yco.
Titik ekuilibrium ycuN dikatakan stabil, jika hanya jika ycIyce .
uIycn ) O 0 untuk setiap ycn = 1,2.
A , yco.
Titik ekuilibrium ycuN dikatakan tidak stabil, jika hanya jika ycIyce .
uIycn ) > 0 untuk setiap ycn = 1,2.
A , yco.
Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai jumlah rata-rata infeksi baru yang disebabkan oleh individu yang terinfeksi pada suatu populasi yang hanya terdiri dari individu yang rentan.
Penentuan bilangan reproduksi dasar ini akan diperoleh dengan mencari nilai eigen terbesar.
Kondisi ini akan timbul yaitu salah satu diantara kemungkinan berikut.
Jika ycI0 < 1 maka penyakit akan menghilang Jika ycI0 > 1 maka penyakit akan menungkat menjadi wabah Jika ycI0 = 1 maka penyakit akan menetap .
Bahan dan Metode Metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
Membuat asumsi, menentukan parameter dan variabel yang akan digunakan untuk pembentukan diagram komparteman model matematika penyakit Tuberculosis dengan penggunaan masker medis dan Treatment menggunakan model SIR dari penelitian sebelumnya oleh .
dengan menambahkan kompartemen treatment (T).
Mencari titik ekuilibrium yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik Mencari Bilangan Reproduksi Dasar .
cI0 ) dan Analisis Kestabilan model.
Memasukkan nilai parameter dan melakukan simulasi model dari model yang diperoleh sebelumnya.
Hasil dan Pembahasan Asumsi Model JURNAL FOURIER .
13 76-86
Pemodelan SITR Pada Penyebaran Penyakit Tuberculosis dengan Penggunaan Masker Medis dan Treatment .
Model yang digunakan dalam penyakit Tuberculosis adalah model SITR (Susceptible.
Infected.
Treatment.
Recovere.
yang dikembangkan dengan membagi populasi individu kedalam enam Asumsi pembentukan model matematika dari penyakit Tuberculosis dengan menggunakan masker medis dan Treatment adalah sebagai berikut:
Bakteri yang menyebabkan penyakit Tuberculosis adalah Mycobacterium Tuberculosis.
Populasi diasumsikan tertutup, artinya tidak ada migrasi masuk atau pun keluar.
Tingkat kelahiran dan kematian alami suatu populasi dianggap sama.
Populasi diasumsikan bercampur secara homogen yang berarti setiap individu mempunyai kemungkinan yang sama dalam melakukan kontak dengan individu lainnya.
Setiap individu yang lahir akan menjadi rentan.
Manusia yang rentan adalah manusia yang tidak memiliki imun dan belum tertular bakteri.
Individu yang telah melakukan pengobatan lengkap selama 6 bulan.
Individu yang telah terinfeksi jika diberikan treatment akan dapat terinfeksi kembali.
Terdapat faktor tingkat kesadaran manusia dalam penanggulangan penyakit tuberculosis dengan penggunaan masker medis.
Terdapat individu rentan yang menggunakan masker medis untuk menggulangi penyebaran penyakit Terdapat individu terinfeksi yang menggunakan masker medis untuk mengurangi penyebaran penyakit tuberculosis.
Diasumsikan tingkat kesembuhan individu terinfeksi terhadap penggunaan masker sama, karena penggunaan masker hanya berfungsi untuk mengurangi penyebaran bakteri tuberculosis.
Variabel dan Parameter Variabel digunakan dalam model penyakit tuberculosis dengan penggunaan masker medis dan treatment yaitu sebagai berikut:
ycIycA .
: Jumlah individu rentan yang menggunakan masker medis pada waktu ke-t yaycA .
: Jumlah individu terinfeksi yang menggunakan masker medis pada waktu ke-t ycI.
: Jumlah individu rentan yang tidak menggunakan masker medis pada waktu ke-t ya.
: Jumlah individu terinfeksi yang tidak menggunakan masker medis pada waktu ke-t ycI.
: Jumlah individu sembuh pada waktu ke-t ycN.
: Jumlah individu yang melakukan pengobatan pada waktu ke-t Parameter- parameter yang digunakan adalah : Laju kelahiran dan kematian alami populasi individu : Laju kontak individu terinfeksi dengan bakteri tuberculosis : Tingkat kesembuhan individu setelah terinfeksi yu1 : Tingkat kesadaran individu rentan dalam menggunakan masker medis yu2 : Tingkat ketidaksadaran individu rentan dalam menggunakan masker medis yu3 : Tingkat kesadaran individu terinfeksi dalam menggunakan masker medis yu4 : Tingkat ketidaksadaran individu terinfeksi dalam menggunakan masker medis yuC : Laju perpindahan individu yang melakukan pengobatan menjadi individu sembuh : Proporsi keberhasilan pengobatan dari terinfeksi TB : Laju perpindahan individu terinfeksi menjadi individu yang melakukan pengobatan.
Model Matematika Penyakit Tuberculosis Skema model matematika penyakit tuberculosis dengan penggunaan masker medis dan treatment dapat disajikan dengan diagram transfer pada Gambar 1 sebagai berikut:
JURNAL FOURIER .
13 76-86
Thessa Rahma Donita yuNycI yu1 ycI yuNycA yuNycIycA ycIycA yu2 ycIycA yuycIya yu3 ya yuNya yaycA yu4 yaycA yuUya yuya yuNyaycA yuUyaycA yuNycI yuyaycA yuCycycN T yuNycN yuNycN Gambar 1 Diagram Kompartemen Model SITR Sehingga formulasi untuk model ycIyaycNycI yang selanjutnya disebut Sistem persamaan diferensial .
adalah sebagai berikut:
yccycI = yuNycA yu2 ycIycA Oe yuNycI Oe yu1 ycI Oe yuycIya, yccyc yccya = yuycIya yu4 yaycA Oe yu3 ya Oe yuUya Oe yuNya Oe yuya, yccyc yccycIycA yccyc yccyaycA yccyc yccycN yccyc yccycI yccyc = yu1 ycI Oe yu2 ycIycA Oe yuNycIycA , .
= yu3 ya Oe yu4 yaycA Oe yuNyaycA Oe yuUyaycA Oe yuyaycA , = yuya yuyaycA Oe yuCycycN Oe yuNycN, = yuUya yuUyaycA yuCycycN Oe yuNycI.
Titik Ekuilibrium Titik ekuilibrium yang diperoleh dari penyelesaian Persamaan .
diatas diperoleh dua titik ekuilibrium.
Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Titik ekuilibrium bebas penyakit terjadi ketika tidak ada penyakit didalam populasi.
Dengan substitusi nilai ya = yaycA = 0 dan mengenolkan ruas kanan, diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakitnya .
u yuN).
uNycA) yu1 .
uNycA) ya0 .
cI, ycIycA ycN, ya, yaycA ) = (.
u2 yuN yu )yuN , .
u yuN yu , 0,0,.
)yuN Titik Ekuilibrium Endemik Penyakit Titik ekuilibrium endemik adalah titik ekuilibrium pada populasi atau pada kelas terinfeksi tidak nol.
Maka haruslah ya O > 0 yccycaycu yaycA O > 0 dan mengenolkan ruas kanan, didapat titik kesetimbangan endemiknya adalah ya1 .
cI, ycIycA ycN, ya, yaycA ) = .
cI O , ycIycA O , ycN O , ya O , yaycA O ) dengan .
u2 yuN).
uNycA) ycI O = yuya.
u yuN) yuN.
yu yuN) 1 2 yu1 ycI ycIycA O = .
u yuN) .
JURNAL FOURIER .
13 76-86
Pemodelan SITR Pada Penyebaran Penyakit Tuberculosis dengan Penggunaan Masker Medis dan Treatment .
yuya yuya ycN O = .
uCyc yuN) .
yu yuN yuU yu.
u3 yuN yuU y.
Oeyu3 yu4 yaO = 4 yu4 yuN yuU yu Oe .
u2 yuN).
u2 yuN yu1 )yuN .
u2 yuN).
uNycA) .
yu ya yaycA O = yu yuN yuU Bilangan Reproduksi Dasar Untuk menentukan bilangan reproduksi dasar salah satunya bisa dengan menggunakan Persamaan .
yang dioperasikan sebagai berikut:
yaO > 0 yu4 yuN yuU yu.
u3 yuN yuU y.
Oeyu3 yu4 .
u yuN).
u2 yuN yu1 )yuN Oe .
u 2 .
u yuN).
uNycA) )>0 yu yuN yuU yu Karena yu4 yuN yuU yu.
u3 yuN yuU y.
Oeyu3 yu4 yu4 yuN yuU yu .
u yuN).
u yuN yu1 )yuN > .
u 2 .
u 2 ) maka dapat didefinisikan bilangan reproduksi 2 yuN).
uNycA) dasar ycI0 sebagai berikut:
u yuN).
uNycA) yu yuN yuU yu.
u3 yuN yuU y.
Oeyu3 yu4 ycI0 = .
u yuN).
u )( 4 yuN yu )yuN yu4 yuN yuU yu Teorema 6.
Titik ekuilibrium endemik ya1 = .
cI O , ycIycA O , ycN O , ya O , yaycA O ) ada jika ycI0 > 1.
Bukti.
Untuk membuktikan setiap elemen di ya1 ada, akan ditunjukkan bahwa ya O > 0 jika dan hanya jika ycI0 > 1 sehingga diperoleh .
u yuN).
u2 yuN yu1 )yuN ya O = .
u 2 .
u yuN).
uNycA) ) .
cI0 Oe .
Maka terbukti bahwa ya O > 0 jika dan hanya jika ycI0 > 1 .
Oa Analisis Kestabilan Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Teorema 7.
Misalkan titik ekuilibrium bebas penyakit ya0 ada.
Titik ekuilibrium ya0 stabil asimtotik lokal jika ycI0 < 1.
Bukti.
Matriks Jacobian hasil linearisasi model pada Persamaan .
disekitar titik ekuilibrium ya0 .
cI, ycIycA ycN, ya, yaycA ) sebagai berikut:
yaya0 = yccycI yccycI yccycI yccycI yccycI yccycI yccycIycA yccycIycA yccycIycA yccya yccycIycA yccyaycA yccycIycA yccycN yccycIycA yccycI yccya yccycIycA yccya yccya yccya yccyaycA yccya yccycN yccya yccycI yccyaycA yccycIycA yccyaycA yccya yccyaycA yccyaycA yccyaycA yccycN yccyaycA yccycI yccycN yccycIycA yccycN yccya yccycN yccyaycA yccycN yccycN yccycN [ yccycI yccycIycA yccya yccyaycA yccycN ] Oe.
u1 yuN) yu2 yu1 Oe.
u2 yuN) yaya0 = Oeyu .
u2 yuN).
uNycA) .
u2 yuN yu1 )yuN yu .
u2 yuN).
uNycA) .
u2 yuN yu1 )yuN Oe .
u3 yuN yuU y.
yu3 yu yu4 Oe.
u4 yuN yuU y.
yu Oe.
uCyc yuN)] maka diperoleh persamaan karakteristik dari matriks diatas adalah yuI1 = (Oe.
u1 yuN))(Oe.
u2 yuN)yu1 yu2 ) .
u yuN).
uNycA) yuI2 = .
u2 yuN yu )yuN Oe .
u3 yuN yuU y.
(Oe.
u4 yuN yuU y.
) Oe yu3 yu4 ) yuI3 = Oe.
uCyc yuN) JURNAL FOURIER .
13 76-86 Thessa Rahma Donita maka dapat diperoleh bahwa nilai eigen yuI1 dan yuI3 adalah bernilai negatif.
Selanjutnya untuk menunjukkan bahwa yuI2 < 0, maka .
u2 yuN).
uNycA) .
u Oe .
u3 yuN yuU y.
(Oe.
u4 yuN yuU y.
) Oe yu3 yu4 ) < 0 .
u2 yuN yu1 )yuN .
u2 yuN).
uNycA) yu4 yuN yuU yu.
u3 yuN yuU y.
Oe yu3 yu4 .
u2 yuN).
u2 yuN yu.
yuN yu4 yuN yuU yu yuI2 < 1 Oleh karena yuI1 , yuI2 , dan yuI3 < 1 berdasarkan Teorema 5 maka titik ekuilibrium bebas penyakit ya0 stabil asimtotik lokal.
Oa Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium Endemik Penyakit Teorema 8.
Misalkan titik ekuilibrium endemik penyakit ya1 ada.
Titik ekuilibrium ya1 stabil asimtotik lokal jika ycI0 > 1.
Bukti.
Matriks Jacobian hasil linearisasi model pada Persamaan .
disekitar titik ekuilibrium ya1 .
cI O , ycIycA O , ycN O , ya O , yaycA O ) sebagai berikut:
yaya1 = yccycI O yccycI O yccycI O yccycI O yccycI O yccycI O yccycIycA O yccycIycA yccycIycA O yccycIycA O yccyaycA yccycIycA O yccycN O yccycIycA O yccycI O yccya O yccycIycA O yccya O yccya O yccya O yccyaycA O yccya O yccycN O yccya O yccycI O yccyaycA O yccycIycA O yccyaycA O yccya O yccyaycA O yccyaycA O yccyaycA O yccycN O yccyaycA O yccycI O yccycN O yccycIycA O yccycN O yccya O yccycN O yccyaycA O yccycN O yccycN O yccycN O [ yccycIO yccycIycA O yccya O yccyaycA O yccycN O ] yaya0 = yu yuN yuU yu.
u3 yuN yuU y.
Oeyu3 yu4 Oe.
u1 yuN) Oe yu ( 4 yu4 yuN yuU yu Oe .
u2 yuN).
u2 yuN yu1 )yuN .
u2 yuN).
uNycA) yu1 yu4 yuN yuU yu.
u3 yuN yuU y.
Oeyu3 yu4 yu( yu4 yuN yuU yu yu2 Oeyu .
u2 yuN).
uNycA) yuya.
u2 yuN) yuN.
u1 yu2 yuN) Oe.
u2 yuN) Oe .
u2 yuN).
u2 yuN yu1 )yuN .
u2 yuN).
uNycA) yu .
u2 yuN).
uNycA) yuya.
u2 yuN) yuN.
u1 yu2 yuN) Oe .
u3 yuN yuU y.
yu3 yu yu4 Oe.
u4 yuN yuU y.
yu Oe.
uCyc yuN)] Maka diperoleh persamaan karakteristik dari matriks diatas adalah yu yuN yuU yu.
u3 yuN yuU y.
Oeyu3 yu4 yuI1 = (Oe.
u1 yuN) Oe yu ( 4 .
u yuN).
uNycA) yuI2 = (.
u yuya.
u yuN) yuN.
u 1 yu2 yuN) yu4 yuN yuU yu Oe .
u2 yuN).
u2 yuN yu1 )yuN .
u2 yuN).
uNycA) )) (Oe.
u2 yuN))yu1 yu2 ) Oe .
u3 yuN yuU y.
(Oe.
u4 yuN yuU y.
Oe yu3 yu4 )) yuI3 = Oe.
uCyc yuN) diperoleh bahwa nilai eigen yuI1 dan yuI3 adalah bernilai negatif.
Selanjutnya untuk menunjukkan bahwa yuI2 > 1, misalkan ycI0 > 1 diperoleh .
u2 yuN).
uNycA) (.
u Oe .
u3 yuN yuU y.
(Oe.
u4 yuN yuU y.
Oe yu3 yu4 )) > 1 yuya.
u2 yuN) yuN.
u1 yu2 yuN) .
u2 yuN).
uNycA) yu4 yuN yuU yu.
u3 yuN yuU y.
Oe yu3 yu4 .
u2 yuN).
u2 yuN yu.
yuN yu4 yuN yuU yu yuI2 > 1 Oleh karena yuI1 , yuI2 , dan yuI3 > 1 maka titik ekuilibrium endemik penyakit stabil asimtotik lokal.
JURNAL FOURIER .
13 76-86
Pemodelan SITR Pada Penyebaran Penyakit Tuberculosis dengan Penggunaan Masker Medis dan Treatment .
Simulasi Model Nilai- nilai parameter yang digunakan dalam penelitian ini sebagai berikut:
Tabel 1 nilai Ae nilai parameter Parameter yuN
Nilai 0,02 6,3257 y 10Oe4
5,5556 y 10Oe3
2,3 y 10Oe2
6,6 y 10Oe8
7 y 10Oe2
1,3 y 10Oe8
0,01
0,001
Satuan Referensi Simulasi Numerik Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Berdasarkan nilai parameter pada Tabel 1 diperoleh bilangan reproduksi awal ycI0 = .
u2 yuN).
uNycA) yu yuN yuU yu.
u3 yuN yuU y.
Oeyu3 yu4 .
u yuN).
u )( 4 ) atau ycI0 = 0,00142042001087.
yuN yu )yuN yu yuN yuU yu Hasil simulasi menggunakan bantuan software Mathlab di titik ekuilibrium ya0 berdasarkan nilai parameter pada Tabel 1 diasumsikan dengan nilai awal ycI.
= 0,3 , ycIycA = 0,1 , ya = 0,2 , yaycA = 0,2 , ycN = 0,1, ycI = 0,1 diperoleh gambar berikut:
Gambar 2 Simulasi Numerik Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit pada Populasi S Berdasarkan Gambar 2, pada grafik populasi individu rentan tidak menggunakan masker (S) menunjukkan mengalami peningkatan hingga hari ke-200 dan stabil pada titik tersebut.
Gambar 3 Simulasi Numerik Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit pada Populasi ycyc Pada Gambar 3, grafik populasi individu rentan menggunakan masker medis .
cIycA ) menunjukkan peningkatan, hingga pada hari ke- 200 karena adanya kesadaran individu rentan dalam menggunakan masker medis dan stabil di titik tersebut.
JURNAL FOURIER .
13 76-86
Thessa Rahma Donita Gambar 4 Simulasi Numerik Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit pada Populasi yc Pada Gambar 4, grafik populasi individu terinfeksi tidak menggunakan masker (I) menunjukkan mengalami penurunan hingga hari ke-200 dan stabil pada titik tersebut karena adanya kesadaran individu terinfeksi dalam menggunakan masker dan stabil di titik tersebut.
Gambar 5 Simulasi Numerik Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit pada Populasi ycyea Pada Gambar 5, grafik populasi individu terinfeksi menggunakan masker .
aycA ) menunjukkan mengalami penurunan hingga hari ke-200 dan stabil pada titik tersebut.
Gambar 6 Simulasi Numerik Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit pada Populasi ycyea Pada Gambar 6, grafik populasi individu rentan yang melakukan pengobatan (T) menunjukkan mengalami penurunan hingga hari ke-200 dan stabil pada titik tersebut.
Gambar 7 Simulasi Numerik Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Pada Gambar 7, grafik populasi individu sembuh (R) menunjukkan mengalami penurunan hingga hari ke-200 dan stabil pada titik tersebut.
Simulasi Numerik Titik Ekuilibrium Endemik Penyakit Selanjutnya akan dilakukan simulasi numerik untuk (R 0 ) > 1.
Jika nilai parameter .
) diperbesar 1,3 y 10Oe8 menjadi 1,3 y 10Oe4 dan nilai parameter diperbesar 6,3257 y 10Oe4 menjadi 6,3257 y 10Oe1 , maka akan diperoleh nilai (R 0 ) = 1.
Karena (R 0 ) > 1 maka menurut Teorema 3 titik ekuilibrium endemik (E1 ) ada.
JURNAL FOURIER .
13 76-86
Pemodelan SITR Pada Penyebaran Penyakit Tuberculosis dengan Penggunaan Masker Medis dan Treatment .
Hasil simulasi menggunakan bantuan software Mathlab di titik ekuilibrium ya1 berdasarkan nilai parameter pada Tabel 1 diasumsikan nilai awal ycI.
= 0,3 , ycIycA = 0,1 , ya = 0,2 , yaycA = 0,2 , ycN = 0,1, ycI = 0,1 diperoleh gambar berikut:
Gambar 8 Simulasi Numerik Titik Ekuilibrium Endemik Penyakit Model SITR Berdasarkan Gambar 8, grafik populasi individu rentan tidak menggunakan masker (S) menunjukkan mengalami peningkatan hingga hari ke-200 dan stabil pada titik tersebut.
Pada grafik populasi individu rentan menggunakan masker medis .
cIycA ) menunjukkan penurunan, hingga pada hari ke- 200 karena adanya laju kelahiran dan kematian alami serta kesadaran individu rentan yang menggunakan masker medis dan stabil di titik tersebut.
Pada grafik populasi individu terinfeksi tidak menggunakan masker (I) menunjukkan mengalami penurunan hingga hari ke-200 dan stabil pada titik tersebut Pada grafik populasi individu terinfeksi menggunakan masker .
aycA ) menunjukkan mengalami peningkatan hingga hari ke-50 dan mengalami penurunan hingga stabil pada hari ke200.
Pada grafik populasi individu rentan yang melakukan pengobatan (T) menunjukkan mengalami peningkatan hingga hari ke-200 dan stabil pada titik tersebut.
Pada grafik populasi individu sembuh (R) menunjukkan mengalami peningkatan hingga hari ke-200 dan stabil pada titik tersebut.
Kesimpulan Berdasarkan asumsi yang telah ditentukan dan pembahasan pada penelitian ini, diperoleh kesimpulan yaitu model matematika penyakit tuberculosis dengan penggunaan masker medis dan treatment adalah Susceptible without mask (S) yaitu individu rentan tidak menggunakan masker medis.
Susceptible With Mask .
cIycA ) yaitu individu rentan dengan menggunakan masker medis.
Infected without mask (I) yaitu individu terinfeksi yang tidak menggunakan masker medis.
Infected with mask .
aycA ) yaitu individu terinfeksi yang menggunakan masker medis.
Treatment (T) yaitu jumlah individu yang melakukan pengobatan.
Recovered (R) yaitu jumlah individu sembuh.
Model yang telah dibentuk mempunyai dua ya0 .
cI, ycIycA ycN, ya, yaycA ) = JURNAL FOURIER .
13 76-86 Thessa Rahma Donita .
u yuN).
uNycA) yu .
uNycA) (.
u2 yuN yu )yuN , .
u yuN yu , 0,0,.
dan titik ekuilibrium endemik penyakit ya1 .
cI O , ycIycA O , ycN O , ya O , yaycA O ) = )yuN .
u2 yuN).
uNycA) .
u yuN) yuN.
u yu1 ycI yuya yuyayco yu4 yuN yuU yu.
u3 yuN yuU y.
Oeyu3 yu4 1 yu2 yuN) .
u2 yuN) .
uCyc yuN) yu4 yuN yuU yu .
u2 yuN).
u2 yuN yu1 )yuN yu3 ya ) , yu yuN yuU .
u2 yuN).
uNycA) .
u2 yuN).
uNycA) yu4 yuN yuU yu.
u3 yuN yuU y.
Oeyu3 yu4 Oe .
u Bilangan reproduksi dasar .
cI0 ) dari model yaitu ycI0 = .
u yuN).
u yuN yu )yuN) ( yu4 yuN yuU yu Berdasarkan hasil simulasi numerik menggunakan software Mathlab 2015 bahwa ycI0 < 1 maka titik ekuilibrium bebas penyakit .
cI, ya, ycN, ycI) stabil asimtotik lokal, artinya populasi akan bebas dari penyakit Sedangkan ycI0 > 1 maka titik ekuilibrium endemik penyakit .
cI O , ya O , ycN O , ycI O ) stabil asimtotik lokal, artinya pada keadaan ini dalam populasi akan selalu terdapat penyakit tuberculosis.
Referensi