IMPLEMENTASI METODE NUMERIK PADA RANGKAIAN LISTRIK
MENGGUNAKAN SCILAB
Khoirul Anam1 Program Studi Teknik Listrik Bandara.
Jurusan Teknik Penerbangan.
Sekolah Tinggi Penerbangan Indonesia Curug Jl.
Raya PLP/STPI Curug Tangerang Banten 15001 Email: anamdeltras@gmail.
Abstrak Beberapa kasus pada analisa rangkaian listrik banyak digunakan model matematika dalam Model matematika selanjutnya dirumuskan secara numerik dalam Sistem Persamaan Linier (SPL).
Persamaan linier yang dihasilkan dapat diselesaikan dengan menggunakan Metode Numerik yaitu Metode Pembalikan Matriks .
atriks inver.
, metode Cramer.
Metode Eliminasi Gauss.
Metode Eliminasi Gauss-Jordan dan Metode Dekomposisi LU.
Untuk menghitung persamaan dengan jumlah n variable yang tidak diketahui dari sistem yang besar dan kompleks, membutuhkan waktu yang cukup lama dan tidak efisien.
Untuk memudahkan dalam perhitungan digunakan aplikasi Bahasa Pemrograman Scilab.
Scilab merupakan sebuah freeware yang dapat digunakan secara gratis untuk keperluan pribadi maupun komersial yang tersedia dalam berbagai macam sistem operasi, seperti Windows.
Linux, dan MacOS X.
Kata Kunci: Metode Numerik.
Rangkaian Listrik.
Scilab.
PENDAHULUAN
Dalam berbagai disiplin ilmu banyak persoalan-persoalan yang melibatkan model matematika, salah satunya adalah persoalan-persoalan dalam analisa rangkaian Listrik.
Analisa rangkaian listrik biasanya diformulasikan ke dalam model yang berbentuk persamaan matematika.
Persamaan tersebut mungkin sangat kompleks atau jumlahnya lebih dari dua persamaan.
Metode numerik dengan bantuan komputer memberikan cara penyelesaian persoalan matematika dengan cepat dan Sebagai ilustrasi metode penyelesaian model matematika dengan menggunakan rumus persamaan linier.
Misal m buah persamaan linier dengan n buah variabel :
a11x1 a12x2 .
a1nxn = b1 a21x1 a22x2 .
a2nxn = b2 am1x1 am2x2 .
amnxn = bm a dan b adalah skalar, di mana a disebut koefisien dan b disebut konstanta dari persamaan.
x1, x2, , xn disebut sebagai variabel.
Persamaan-persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai bentuk perkalian matriks sebagai yca11 yca12 ( ycaA21 ycaA ycayco1 ycayco2 A yca1ycu ycu1 yca1 A yca2ycu ) .
cu2 ) = ( yca2 ) A A A A A ycaycoycu ycuycu ycayco Dalam menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut ada beberapa metode numerik untuk menyelesaikannya yaitu diantaranya dengan metode eliminasi Gauss, metode cramer, metode pembalikan matriks dan eliminasi Gauss Jordan.
Untuk menghitung jumlah m persamaan dengan jumlah n variable yang tidak diketahui dari sistem yang sangat besar dan kompleks, diperlukan komputer untuk menghitung persamaan Program Scilab diharapkan dapat menjadi solusi untuk membantu menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode Numerik.
KAJIAN TEORI
Metode Numerik Sistem persamaan linier merupakan sistem persamaan yang terdiri dari sejumlah persamaan dengan variabel yang berhingga.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah dengan mencari nilai variabel-variabel persamaan tersebut.
Ada dua metode numerik dalam mencari penyelesaian persamaan linier :
- Metode langsung, yang terdiri dari Metode Crammer, .
Eliminasi Gauss, eliminasi GaussJordan.
Matriks Invers, dan Dekomposisi LU.
- Metode tak langsung, yang sering disebut juga metode iterasi.
Metode ini terdiri dari metode iterasi Jacobi dan metode iterasi Gauss-Seidel.
Penulisan ini hanya membahas tentang penyelesaian persamaan liner dengan metode langsung.
Metode cramer adalah metode untuk menetukan nilai variable dari sistem persamaan linier dengan menggunakan determinan matriks.
Jika AX = b, merupakan persamaan linier n variable yang tidak diketahui, maka dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
[A][X] = [B]
Dimana matriks A merupakan matriks bujur sangkar berorde nxn dan matrik B berorde nx1, sehingga persamaan tersebut dapat diselesesaikan dengan cara sebagai berikut :
ycU1 = yccyceycya1 yccyceycya2 yccyceycyaycu , ycU2 = .
A , ycUycu = det ya det ya det ya dimana Aj adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom ke-j dengan matrik b dan determinan matriks A tidak boleh sama dengan nol .
Metode Eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan merupakan salah satu cara yang banyak digunakan untuk penyelesaian persamaan linier.
Penyelesaian persamaan linier menggunakan Eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan terdiri dari beberapa tahap, yaitu :
- Merubah persamaan linier menjadi matriks teraugmentasi (A|B).
Misal persamaan linier sebagai berikut :
yca11 ycn1 yca12 ycn2 yca13 ycn3 = yca1 yca21 ycn1 yca22 ycn2 yca23 ycn3 = yca2 yca31 ycn1 yca32 ycn2 yca33 ycn3 = yca3 Persamaan-persamaan di atas dituliskan dalam bentuk matriks augmentasi :
ca21 yca31 yca12 yca22 yca32 yca13 yca23 yca33 yca1 yca2 ] yca3 - Merubah matriks A menjadi matriks segitiga (Triangularisas.
untuk metode eliminasi Gauss dan menjadi matriks identitas untuk eliminasi Gauss-Jordan.
[ 21
yca31 yca12 yca22 yca32 yca11 .
ca21 yca31 yca13 yca23 yca33 yca12 yca22 yca32 yca1 1 yca12 A yca2 ] Ie .
yca3 yca13 yca23 yca33 yca1 yca2 ] Ie .
1 yca3 yca13 A yca23 A ycu1 ycu2 ] ycu3 ycu1 ycu2 ] ycu3 - Nilai variable i1, i2 dan i3 dapat ditentukan dengan teknik subtitusi.
Sistem persamaan linier AX=b juga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode matriks invers dengan cara sebagai berikut :
AX = b EA-1AX = A-1b EIX = A-1b Sehingga nilai X didapat :
X = A-1b Cara lain untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier adalah dengan metode Dekomposisi LU atau metode pemfaktoran segitiga .
riangular factorizatio.
, yaitu dengan memfaktorkan matriks A menjadi matriks segitiga bawah L (Lowe.
dan matriks segitiga atas U (Uppe.
AX = b E LUX = b Misal :
ya = .
ca21 yca31 yca2 ] yca3 yca23 ] = .
co21 yca33 0 ] .
yc12 Maka :
ca21 yca31 yca12 yca22 yca32 yc13 yc23 ] Langkah-langkah menghitung solusi SPL dengan metode dekomposi LU sebagai berikut:
- Bentuklah matriks L dan U dari A, sehingga AX = b menjadi LUX = b - Misalkan UX = y, maka persamaan menjadi Ly = b - Pecahkan Ly = b, lalu hitung y dengan teknik subtitusi maju - Pecahkan Ux = y, lalu hitung x dengan teknik subtitusi mundur Hukum-hukum Dasar Listrik 1 Hukum Ohm Jika sebuah penghantar atau hantaran dilewati oleh sebuah arus maka pada kedua ujung penghantar tersebut akan muncul beda potensial, atau Hukum Ohm menyatakan bahwa tegangan melintasi berbagai jenis bahan pengantar adalah berbanding lurus dengan arus yang mengalir melalui bahan tersebut.
Secara matematis :
V = I.
2 Hukum Kirchof I (KCL) Jumlah arus yang memasuki suatu node atau simpul sama dengan arus yang meninggalkan node atau simpul, dengan kata lain jumlah aljabar semua arus yang memasuki sebuah node atau simpul sama dengan nol.
Secara matematis :
I pada suatu node = 0 I masuk = I keluar Contoh :
arus masuk = arus keluar ycn2 ycn4 = ycn1 ycn3 ycn2 ycn4 Oe ycn1 Oe ycn3 = 0 3 Hukum Kirchof II (KVL) Jumlah tegangan pada lintasan tertutup sama dengan nol, atau penjumlahan tegangan pada masing-masing komponen penyusunnya yang membentuk lintasan tertutup bernilai sama dengan Secara matematis :
V=0
Contoh :
ycycayca ycycayca ycycaycc ycyccyca = 0 Oeyc1 yc2 Oe yc3 0 = 0 yc2 Oe yc1 Oe yc3 = 0 Scilab Scilab adalah sebuah perangkat lunak yang dirancang dan dikembangkan untuk komputasi numerik serta untuk visualisasi data secara dua dimensi maupun tiga dimensi.
Scilab juga merupakan sebuah bahasa pemrograman tingkat tinggi yang berorientasi numerik.
Scilab adalah suatu interpreter sehingga suatu kode program yang dibuat dapat dieksekusi secara langsung dan dilihat hasilnya tanpa harus melalui tahapan kompilasi.
Scilab adalah sebuah freeware yang dapat digunakan secara gratis untuk keperluan pribadi maupun komersial.
Scilab tersedia dalam berbagai macam sistem operasi utama, seperti Windows (XP.
Vista, 7, 8, .
Linux, serta MacOS X.
Ada enam tahapan yang dilakukan dalam menyelesaikan persoalan dengan metode numerik menggunakan Program Komputer, yaitu :
Pemodelan Mengubah parameter persoalan dalam persamaan matematika.
Formulasi numerik Model matematika yang diperoleh, selanjutnya diformulasikan secara numerik, atau memilih metode numerik apa yang akan digunakan untuk penyelesaian persoalan tersebut.
Menyusun algoritma Dari metode numerik yang dipilih kemudian kita buat algoritmanya Pemrograman Algoritma yang telah disusun diterjemahkan dalam program komputer, dengan terlebih dahulu dibuat flowchart-nya.
Operasional.
Program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum menggunakan data sebenarnya.
Evaluasi.
Bila program sudah selesai dijalankan dengan menggunakan data sesungguhnya, hasil yang diperoleh diinterpretasi.
Interpretasi meliputi analisis hasil perhitungan dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menentukan kualitas solusi numerik.
Gambar 1.
Tampilan depan program Scilab
PEMBAHASAN
Jika diberikan rangkaian listrik dengan arus seperti gambar 2 berikut ini :
Gambar 2.
Rangkaian listrik Dengan menggunakan hukum Kirchoff didapat persamaan sebagai berikut :
0i1 8i2 6i3 = 12 0i1 6i2 9i3 = 8 Oei1 i2 i3 = 0 Dari persamaan di atas diubah dalam bentuk persamaan :
Oe1
6 ycn1
[ 2 ] = [ 8 ]
1 ycn3 Sehingga diperoleh matriks A dan B ya=.
Oe1 yaA=.
Setelah diperoleh persamaan matriks dari analisa rangkaian listrik, selanjutnya persamaan tersebut dapat kita selesaikan dengan menggunakan program yang telah kita buat pada perangkat lunak Scilab.
Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier dengan metode numerik menggunakakan program scilab yang telah dibuat sebagai berikut :
Buka File program dan kemudian tekan tombol excute.
Pilih metode Numerik yang akan digunakan (Invers Matriks.
Crammer.
Gauss.
Gauss-Jordan atau Dekomposisi LU) Masukkan nilai matriks A dan matriks B Hasil perhitungan nilai Variabel i1, i2 dan i3 akan ditampilkan console windows Scilab.
Penyelesaian persamaan yang diperoleh dari analisa rangkaian listrik gambar 2.
menggunakan perhitungan secara manual dan menggunakan program Scilab diperoleh hasil yang tidak berbeda yaitu, i1 = 1,444, i2 = 1,667 dan i3 = -0,222.
Gambar 3.
Program Metode Numerik Gambar 4.
Tampilan Hasil Metode Eliminasi Gauss-Jordan Pada Scilab
KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan kasus Permasalahan analisa rangkaian listrik yang telah dilakukan, bahwa penerapan metode Numerik menngunakan perangkat lunak Scilab dapat membantu proses perhitungan analisa rangkaian listrik dengan hasil yang akurat dan tidak membutuhkan waktu yang DAFTAR PUSTAKA